कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} (\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{{(x + 4)}^{2}}) d x$

चरण 1

कोष्ठक हटा दें.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

चरण 3

मान लीजिए $u_{1} = x + 1$ . फिर $d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u_{1} = x + 1$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 3.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 3.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 3.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 3.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 3.2

$x$ के लिए $u_{1} = x + 1$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0 + 1$

चरण 3.3

$0$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 3.4

$x$ के लिए $u_{1} = x + 1$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1 + 1$

चरण 3.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = 2$

चरण 3.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

चरण 3.7

$u_{1}$ , $d u_{1}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

चरण 4

$u_{1}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{1}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{1} |)$ है.

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

चरण 5

मान लीजिए $u_{2} = x + 4$ . फिर $d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u_{2} = x + 4$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$x + 4$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 5.1.3

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 5.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 5.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 5.2

$x$ के लिए $u_{2} = x + 4$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0 + 4$

चरण 5.3

$0$ और $4$ जोड़ें.

$u_{lower} = 4$

चरण 5.4

$x$ के लिए $u_{2} = x + 4$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1 + 4$

चरण 5.5

$1$ और $4$ जोड़ें.

$u_{upper} = 5$

चरण 5.6

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 5$

चरण 5.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

चरण 6

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

${u_{2}}^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

चरण 6.2

घातांक को ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

चरण 6.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{- 2}$ का समाकलन $- {u_{2}}^{- 1}$ है.

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + - {u_{2}}^{- 1}]_{4}^{5}$

चरण 8

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$2$ पर और $1$ पर $\ln (| u_{1} |)$ का मान ज्ञात करें.

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) + - {u_{2}}^{- 1}]_{4}^{5}$

चरण 8.2

$5$ पर और $4$ पर $- {u_{2}}^{- 1}$ का मान ज्ञात करें.

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) + (- 5^{- 1}) + 4^{- 1}$

चरण 8.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} + 4^{- 1}$

चरण 8.3.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} + \frac{1}{4}$

चरण 8.3.3

$- \frac{1}{5}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

चरण 8.3.4

$\frac{1}{4}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}$

चरण 8.3.5

प्रत्येक व्यंजक को $20$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.5.1

$\frac{1}{5}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{5 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}$

चरण 8.3.5.2

$5$ को $4$ से गुणा करें.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}$

चरण 8.3.5.3

$\frac{1}{4}$ को $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{5}{4 \cdot 5}$

चरण 8.3.5.4

$4$ को $5$ से गुणा करें.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{5}{20}$

चरण 8.3.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{- 4 + 5}{20}$

चरण 8.3.7

$- 4$ और $5$ जोड़ें.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{1}{20}$

चरण 9

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{1}{20}$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $2$ के बीच की दूरी $2$ है.

$\ln (\frac{2}{| 1 |}) + \frac{1}{20}$

चरण 10.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\ln (\frac{2}{1}) + \frac{1}{20}$

चरण 10.3

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (2) + \frac{1}{20}$

चरण 11

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\ln (2) + \frac{1}{20}$

दशमलव रूप:

$0.74314718 \dots$

चरण 12