कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{2}{3}$ है.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

चरण 1.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

चरण 1.3

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

चरण 1.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

चरण 1.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

चरण 1.5.2

$2$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

चरण 1.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

चरण 1.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

चरण 1.7.2

$\frac{2}{3}$ को $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $\frac{2}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ का व्युत्पन्न $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ है.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})$

चरण 2.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ को ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

चरण 2.2.2

घातांक को ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3} \cdot - 1})$

चरण 2.2.2.2

$\frac{1}{3}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{3}})$

चरण 2.2.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{3}})$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - \frac{1}{3}$ है.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

चरण 2.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

चरण 2.5

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

चरण 2.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

चरण 2.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

चरण 2.7.2

$- 1$ में से $3$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

चरण 2.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

चरण 2.9

$x^{- \frac{4}{3}}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

चरण 2.10

$\frac{2}{3}$ को $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{3 \cdot 3}$

चरण 2.11

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.11.1

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{9}$

चरण 2.11.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{4}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

चरण 4.1.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

चरण 4.1.3

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

चरण 4.1.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

चरण 4.1.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

चरण 4.1.5.2

$2$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

चरण 4.1.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

चरण 4.1.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.7.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

चरण 4.1.7.2

$\frac{2}{3}$ को $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

चरण 4.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ है.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

चरण 5.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$2 = 0$

चरण 5.3

$2 \neq 0$ के बाद से कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भिन्नात्मक घातांक वाले व्यंजकों को करणी में बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

चरण 6.1.2

किसी भी चीज़ को $1$ तक बढ़ा दिया जाता है, वह आधार ही होता है.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

चरण 6.2

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

चरण 6.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को घन करें.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

चरण 6.3.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

$\sqrt[3]{x}$ को $x^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

चरण 6.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.2.1

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.2.1.1

उत्पाद नियम को $3 x^{\frac{1}{3}}$ पर लागू करें.

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

चरण 6.3.2.2.1.2

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

चरण 6.3.2.2.1.3

घातांक को ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.2.1.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

चरण 6.3.2.2.1.3.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.2.1.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

चरण 6.3.2.2.1.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$27 x^{1} = 0^{3}$

चरण 6.3.2.2.1.4

सरल करें.

$27 x = 0^{3}$

चरण 6.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$27 x = 0$

चरण 6.3.3

$27 x = 0$ के प्रत्येक पद को $27$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

$27 x = 0$ के प्रत्येक पद को $27$ से विभाजित करें.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

चरण 6.3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.2.1

$27$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

चरण 6.3.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{0}{27}$

चरण 6.3.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.3.1

$0$ को $27$ से विभाजित करें.

$x = 0$

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = 0$

चरण 8

$x = 0$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

चरण 9

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$0$ को $0^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{2}{9 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

चरण 9.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

चरण 9.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

चरण 9.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{4}}$

चरण 9.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$- \frac{2}{9 \cdot 0}$

चरण 9.3.2

$9$ को $0$ से गुणा करें.

$- \frac{2}{0}$

चरण 9.3.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$- \frac{2}{0}$

चरण 9.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 10

चूँकि $0$ या अपरिभाषित दूसरा व्युत्पन्न के साथ कम से कम एक बिंदु है, इसलिए पहला व्युत्पन्न परीक्षण लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के लगभग अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो पहले व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

चरण 10.2

पहले व्युत्पन्न $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ में अंतराल $(- \infty, 0)$ से कोई भी संख्या, जैसे $- 2$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f' (- 2) = \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

चरण 10.2.2

अंतिम उत्तर $\frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$ है.

$\frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

चरण 10.3

पहले व्युत्पन्न $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ में अंतराल $(0, \infty)$ से कोई भी संख्या, जैसे $2$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f' (2) = \frac{2}{3 {(2)}^{\frac{1}{3}}}$

चरण 10.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.2.1

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके ${(2)}^{\frac{1}{3}}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f' (2) = \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

चरण 10.3.2.2

घातांक जोड़कर $2$ को $2^{- \frac{1}{3}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.2.2.1

$2$ को $2^{- \frac{1}{3}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.2.2.1.1

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (2) = \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

चरण 10.3.2.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (2) = \frac{2^{1 - \frac{1}{3}}}{3}$

चरण 10.3.2.2.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{3}$

चरण 10.3.2.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3 - 1}{3}}}{3}$

चरण 10.3.2.2.4

$3$ में से $1$ घटाएं.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

चरण 10.3.2.3

अंतिम उत्तर $\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ है.

$\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

चरण 10.4

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को ऋणात्मक से धनात्मक में $x = 0$ के लगभग बदल दिया, तो $x = 0$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$x = 0$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 11