कैलकुलस उदाहरण

$y = \arctan (\sin (x^{2} - 6 x))$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan (\sin (x^{2} - 6 x)))$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \arctan (x)$ और $g (x) = \sin (x^{2} - 6 x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\sin (x^{2} - 6 x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} - 6 x)]$

चरण 3.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\arctan (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ है.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} - 6 x)]$

चरण 3.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\sin (x^{2} - 6 x)$ से बदलें.

$\frac{1}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} - 6 x)]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = x^{2} - 6 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x^{2} - 6 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x])$

चरण 3.2.2

$u_{2}$ के संबंध में $\sin (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{2})$ है.

$\frac{1}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x])$

चरण 3.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 6 x$ से बदलें.

$\frac{1}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (\cos (x^{2} - 6 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x])$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$\cos (x^{2} - 6 x)$ और $\frac{1}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$ को मिलाएं.

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

चरण 3.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 6 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ है.

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

चरण 3.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

चरण 3.3.4

चूंकि $- 6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 6 x$ का व्युत्पन्न $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (2 x - 6 \cdot 1)$

चरण 3.3.6

$- 6$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (2 x - 6)$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (2 x - 6)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(2 x - 6) \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

चरण 3.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 x \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} - 6 \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

चरण 3.4.3

$2 x \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

$2$ और $\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$ को मिलाएं.

$x \frac{2 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} - 6 \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

चरण 3.4.3.2

$x$ और $\frac{2 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$ को मिलाएं.

$\frac{x (2 \cos (x^{2} - 6 x))}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} - 6 \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

चरण 3.4.4

$- 6$ और $\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$ को मिलाएं.

$\frac{x (2 \cos (x^{2} - 6 x))}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} + \frac{- 6 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

चरण 3.4.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot x \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} + \frac{- 6 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

चरण 3.4.5.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{2 x \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} - \frac{6 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

चरण 3.4.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 x \cos (x^{2} - 6 x) - 6 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

चरण 3.4.7

$2 x \cos (x^{2} - 6 x) - 6 \cos (x^{2} - 6 x)$ में से $2 \cos (x^{2} - 6 x)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.1

$2 x \cos (x^{2} - 6 x)$ में से $2 \cos (x^{2} - 6 x)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cos (x^{2} - 6 x) (x) - 6 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

चरण 3.4.7.2

$- 6 \cos (x^{2} - 6 x)$ में से $2 \cos (x^{2} - 6 x)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cos (x^{2} - 6 x) (x) + 2 \cos (x^{2} - 6 x) (- 3)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

चरण 3.4.7.3

$2 \cos (x^{2} - 6 x) (x) + 2 \cos (x^{2} - 6 x) (- 3)$ में से $2 \cos (x^{2} - 6 x)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cos (x^{2} - 6 x) (x - 3)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{2 \cos (x^{2} - 6 x) (x - 3)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cos (x^{2} - 6 x) (x - 3)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$