कैलकुलस उदाहरण

$\int 8^{2 y^{3} - 3 y^{2}} (y^{2} - y) d y$

चरण 1

मान लीजिए $u = 2 y^{3} - 3 y^{2}$ .फिर $d u = (6 y^{2} - 6 y) d y$ , तो $\frac{1}{6} d u = (y^{2} - y) d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 2 y^{3} - 3 y^{2}$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$2 y^{3} - 3 y^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [2 y^{3} - 3 y^{2}]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $2 y^{3} - 3 y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$ है.

$\frac{d}{d y} [2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d y} [2 y^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.3.1

चूंकि $2$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 y^{3}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ है.

$2 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$2 (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$

चरण 1.1.3.3

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$6 y^{2} + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$

चरण 1.1.4

$\frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.4.1

चूंकि $- 3$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 3 y^{2}$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$6 y^{2} - 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$6 y^{2} - 3 (2 y)$

चरण 1.1.4.3

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$6 y^{2} - 6 y$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int 8^{u} \frac{1}{6} d u$

चरण 2

$8^{u}$ और $\frac{1}{6}$ को मिलाएं.

$\int \frac{8^{u}}{6} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{6}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{6}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{6} \int 8^{u} d u$

चरण 4

$u$ के संबंध में $8^{u}$ का इंटीग्रल $\frac{8^{u}}{\ln (8)}$ है.

$\frac{1}{6} (\frac{8^{u}}{\ln (8)} + C)$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

$\frac{1}{6} (\frac{8^{u}}{\ln (8)} + C)$ को $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\ln (8)} \cdot 8^{u} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\ln (8)} \cdot 8^{u} + C$

चरण 5.2

$\frac{1}{6}$ को $\frac{1}{\ln (8)}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{6 \ln (8)} \cdot 8^{u} + C$

चरण 6

$u$ की सभी घटनाओं को $2 y^{3} - 3 y^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{6 \ln (8)} \cdot 8^{2 y^{3} - 3 y^{2}} + C$