कैलकुलस उदाहरण

$\int_{1}^{2} 2 x \sqrt{4 + x^{2}} d x$

चरण 1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int_{1}^{2} x \sqrt{4 + x^{2}} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = 4 + x^{2}$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = 4 + x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$4 + x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [4 + x^{2}]$

चरण 2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 + 2 x$

चरण 2.1.5

$0$ और $2 x$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u = 4 + x^{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 4 + 1^{2}$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{lower} = 4 + 1$

चरण 2.3.2

$4$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = 5$

चरण 2.4

$x$ के लिए $u = 4 + x^{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 4 + 2^{2}$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{upper} = 4 + 4$

चरण 2.5.2

$4$ और $4$ जोड़ें.

$u_{upper} = 8$

चरण 2.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 8$

चरण 2.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int_{5}^{8} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 3

$\sqrt{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$2 \int_{5}^{8} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{1}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u)$

चरण 5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

चरण 5.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

चरण 5.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

चरण 5.1.3

$\int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$ को $1$ से गुणा करें.

$\int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

चरण 5.2

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int_{5}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{5}^{8}$

चरण 7

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$8$ पर और $5$ पर $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

चरण 7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$\frac{2}{3}$ और $8^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

चरण 7.2.2

$8$ को $2^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

चरण 7.2.3

घातांक को ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

चरण 7.2.3.2

$3 (\frac{3}{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.2.1

$3$ और $\frac{3}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

चरण 7.2.3.2.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

चरण 7.2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

चरण 7.2.5

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

चरण 7.2.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

चरण 7.2.7

$2$ और $9$ जोड़ें.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

चरण 7.2.8

$5^{\frac{3}{2}}$ और $\frac{2}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{5^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$

चरण 7.2.9

$2$ को $5^{\frac{3}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

दशमलव रूप:

$7.63138474 \dots$

चरण 9