कैलकुलस उदाहरण

$\int_{e^{64}}^{e^{81}} \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = \ln (x)$ .फिर $d u = \frac{1}{x} d x$ , तो $x d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = \ln (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\ln (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 1.1.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{1}{x}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = \ln (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \ln (e^{64})$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$64$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$u_{lower} = 64 \ln (e)$

चरण 1.3.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$u_{lower} = 64 \cdot 1$

चरण 1.3.3

$64$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 64$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = \ln (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \ln (e^{81})$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$81$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$u_{upper} = 81 \ln (e)$

चरण 1.5.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$u_{upper} = 81 \cdot 1$

चरण 1.5.3

$81$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 81$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 64$

$u_{upper} = 81$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{64}^{81} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int_{64}^{81} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

चरण 2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\int_{64}^{81} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 2.3

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{64}^{81} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 2.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\int_{64}^{81} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 2.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int_{64}^{81} u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 3

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{64}^{81}$

चरण 4

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$81$ पर और $64$ पर $2 u^{\frac{1}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$(2 \cdot 81^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}$

चरण 4.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$81$ को $9^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 \cdot {(9^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}$

चरण 4.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 9^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}$

चरण 4.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \cdot 9^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}$

चरण 4.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 \cdot 9^{1} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}$

चरण 4.2.4

घातांक का मान ज्ञात करें.

$2 \cdot 9 - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}$

चरण 4.2.5

$2$ को $9$ से गुणा करें.

$18 - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}$

चरण 4.2.6

$64$ को $8^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$18 - 2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{1}{2}}$

चरण 4.2.7

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18 - 2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})}$

चरण 4.2.8

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.8.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$18 - 2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})}$

चरण 4.2.8.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$18 - 2 \cdot 8^{1}$

चरण 4.2.9

घातांक का मान ज्ञात करें.

$18 - 2 \cdot 8$

चरण 4.2.10

$- 2$ को $8$ से गुणा करें.

$18 - 16$

चरण 4.2.11

$18$ में से $16$ घटाएं.

$2$