कैलकुलस उदाहरण

$\frac{1 + x + y}{\sqrt{1 + x^{2} + y^{2}}}$

चरण 1

$\sqrt{1 + x^{2} + y^{2}}$ को ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{1 + x + y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 1 + x + y$ और $g (x) = {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ है.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3

घातांक को ${({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{1}}$

चरण 4

सरल करें.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ है.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 5.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 5.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [x]$ जोड़ें.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 5.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 5.5

चूंकि $x$ के संबंध में $y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 5.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 5.6.2

${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 6

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 1 + x^{2} + y^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $1 + x^{2} + y^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 6.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 6.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $1 + x^{2} + y^{2}$ से बदलें.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 7

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 8

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 10

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 10.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 11

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 11.2

$\frac{1}{2}$ और ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 11.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 12

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{2} + y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ है.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 13

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 14

$0$ और $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ जोड़ें.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 15

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 16

चूंकि $x$ के संबंध में $y^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 17

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 17.2

$2$ और $\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{2}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} x)}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 17.3

$\frac{2}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 17.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 17.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 18

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot 1 - x - y) \frac{x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 18.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.1

मान लीजिए $u_{2} = {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ . ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ की सभी घटनाओं के लिए $u_{2}$ को प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.1.1

$u_{2}$ को $u_{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} + (- 1 - x - y) x}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 18.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - 1 x - x \cdot x - y x}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 18.2.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.1.3.1

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - x - x \cdot x - y x}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 18.2.1.3.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.1.3.2.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - x - (x \cdot x) - y x}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 18.2.1.3.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - x - x^{2} - y x}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 18.2.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$\frac{\frac{{({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x - x^{2} - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 18.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.3.1.1

घातांक को ${({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.3.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - x^{2} - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 18.2.3.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.3.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - x^{2} - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 18.2.3.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{1} - x - x^{2} - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 18.2.3.1.2

सरल करें.

$\frac{\frac{1 + x^{2} + y^{2} - x - x^{2} - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 18.2.3.2

$1 + x^{2} + y^{2} - x - x^{2} - y x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.3.2.1

$x^{2}$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$\frac{\frac{1 + y^{2} - x + 0 - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 18.2.3.2.2

$1 + y^{2} - x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 18.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.3.1

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$ को फिर से लिखें.

$\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2} + y^{2}}$

चरण 18.3.2

$\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{1}{1 + x^{2} + y^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2} + y^{2})}$

चरण 18.3.3

घातांक जोड़कर ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ को $1 + x^{2} + y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.3.3.1

${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ को $1 + x^{2} + y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.3.3.1.1

$1 + x^{2} + y^{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{1}}$

चरण 18.3.3.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}$

चरण 18.3.3.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

चरण 18.3.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

चरण 18.3.3.4

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{1 + y^{2} - x - y x}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 18.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{y^{2} - x y - x + 1}{{(x^{2} + y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$