कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{3}{x}$ , $[1, 7]$

चरण 1

किसी फलन का औसत मान ज्ञात करने के लिए, फलन को बंद अंतराल $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए. यह पता लगाने के लिए कि $f (x)$ , $[1, 7]$ पर सतत है या नहीं, $f (x) = \frac{3}{x}$ का डोमेन ज्ञात करें.

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चरण 1.1

$\frac{3}{x}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x = 0$

चरण 1.2

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq 0}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq 0}$

चरण 2

$f (x)$ $[1, 7]$ पर निरंतर है.

$f (x)$ निरंतर है

चरण 3

अंतराल $[a, b]$ पर फलन $f$ का औसत मान $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ के रूप में परिभाषित किया गया है.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

चरण 4

किसी फलन के औसत मान के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (\int_{1}^{7} \frac{3}{x} d x)$

चरण 5

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \int_{1}^{7} \frac{1}{x} d x)$

चरण 6

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 (\ln (| x |)]_{1}^{7}))$

चरण 7

उत्तर को सरल करें.

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चरण 7.1

$7$ पर और $1$ पर $\ln (| x |)$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 (\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |)))$

चरण 7.2

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{| 7 |}{| 1 |}))$

चरण 7.3

सरल करें.

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चरण 7.3.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $7$ के बीच की दूरी $7$ है.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{7}{| 1 |}))$

चरण 7.3.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{7}{1}))$

चरण 7.3.3

$7$ को $1$ से विभाजित करें.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (7))$

चरण 8

$7$ में से $1$ घटाएं.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (3 \ln (7))$

चरण 9

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 9.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{3 (2)} \cdot (3 \ln (7))$

चरण 9.2

$3 \ln (7)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{3 (2)} \cdot (3 (\ln (7)))$

चरण 9.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \ln (7))$

चरण 9.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (7)$

चरण 10

$\frac{1}{2}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{2} \cdot \ln (7)$ को सरल करें.

$A (x) = \ln (7^{\frac{1}{2}})$

चरण 11