कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}$

चरण 1

$\frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

चरण 4

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{x + x^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

चरण 5

$\sqrt[3]{x}$ को $x^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{x + x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

चरण 6

$x^{\frac{1}{3}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\int (x + x^{\frac{1}{2}} + 1) {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

चरण 7

घातांक को ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x + x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

चरण 7.2

$\frac{1}{3}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\int (x + x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{\frac{- 1}{3}} d x$

चरण 7.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int (x + x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{- \frac{1}{3}} d x$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int (x + x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

चरण 8.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int x \cdot x^{- \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

चरण 8.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int x^{1} x^{- \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

चरण 8.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int x^{1 - \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

चरण 8.5

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\int x^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

चरण 8.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\int x^{\frac{3 - 1}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

चरण 8.7

$3$ में से $1$ घटाएं.

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

चरण 8.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

चरण 8.9

$\frac{1}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

चरण 8.10

$- \frac{1}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

चरण 8.11

प्रत्येक व्यंजक को $6$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.11.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

चरण 8.11.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

चरण 8.11.3

$\frac{1}{3}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

चरण 8.11.4

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{6} - \frac{2}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

चरण 8.12

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3 - 2}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

चरण 8.13

$3$ में से $2$ घटाएं.

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

चरण 8.14

$x^{- \frac{1}{3}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{6}} + x^{- \frac{1}{3}} d x$

चरण 9

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int x^{\frac{1}{6}} d x + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{\frac{2}{3}}$ का समाकलन $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ है.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int x^{\frac{1}{6}} d x + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{\frac{1}{6}}$ का समाकलन $\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}$ है.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

चरण 12

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{- \frac{1}{3}}$ का समाकलन $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ है.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

चरण 13

सरल करें.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

चरण 14

उत्तर फलन $f (x) = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$