कैलकुलस उदाहरण

$\int_{e}^{4} \frac{1}{x \ln (x)} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = \ln (x)$ .फिर $d u = \frac{1}{x} d x$ , तो $x d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = \ln (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$\ln (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 1.1.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{1}{x}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = \ln (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \ln (e)$

चरण 1.3

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$u_{lower} = 1$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = \ln (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \ln (4)$

चरण 1.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \ln (4)$

चरण 1.6

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{\ln (4)} \frac{1}{u} d u$

चरण 2

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| u |)]_{1}^{\ln (4)}$

चरण 3

$\ln (4)$ पर और $1$ पर $\ln (| u |)$ का मान ज्ञात करें.

$\ln (| \ln (4) |) - \ln (| 1 |)$

चरण 4

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| \ln (4) |}{| 1 |})$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

$\ln (4)$ लगभग $1.38629436$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\ln (\frac{\ln (4)}{| 1 |})$

चरण 5.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\ln (\frac{\ln (4)}{1})$

चरण 5.3

$\ln (4)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (\ln (4))$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\ln (\ln (4))$

दशमलव रूप:

$0.32663425 \dots$