कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x - 1}}$

चरण 1

$\sqrt[3]{x - 1}$ को ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y = \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})$

चरण 3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1$

चरण 4

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ है, जहाँ $f (y) = 1$ और $g (y) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ है.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

चरण 4.2

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

चरण 4.2.2

घातांक को ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

चरण 4.2.2.2

$\frac{1}{3}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.2.3

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{0 - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.2.4.2

$0$ में से $\frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ घटाएं.

$\frac{- \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.2.4.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{\frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = y^{\frac{1}{3}}$ और $g (y) = x - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 1$ के रूप में सेट करें.

$- \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{3}$ है.

$- \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.5

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.7.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.8.2

$\frac{1}{3}$ और ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$- \frac{\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.8.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.9

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ है.

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.10

$\frac{d}{d y} [x]$ को $x'$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (x' + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.11

चूंकि $y$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (x' + 0)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.12

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.12.1

$x'$ और $0$ जोड़ें.

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} x'}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.12.2

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ और $x'$ को मिलाएं.

$- \frac{\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.13

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ को फिर से लिखें.

$- (\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

चरण 4.14

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ को $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ से गुणा करें.

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.15

घातांक जोड़कर ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ को ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.15.1

${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ ले जाएं.

$- \frac{x'}{3 ({(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}$

चरण 4.15.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

चरण 4.15.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

चरण 4.15.4

$2$ और $2$ जोड़ें.

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

चरण 5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$1 = - \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

चरण 6

$x'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण को $- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$

चरण 6.2

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

चरण 6.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

चरण 6.2.2.2

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{- 1}$

चरण 6.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

$1$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = - 1$

चरण 6.3

दोनों पक्षों को $3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ से गुणा करें.

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}) = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

चरण 6.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1.1

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$3 \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

चरण 6.4.1.1.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

चरण 6.4.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x'}{{(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

चरण 6.4.1.1.3

${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x'}{{(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

चरण 6.4.1.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x' = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

चरण 6.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.1

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x' = - 3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$

चरण 7

$x'$ को $\frac{d x}{d y}$ से बदलें.

$\frac{d x}{d y} = - 3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$