कैलकुलस उदाहरण

$\int_{\sqrt{\frac{π}{2}}}^{\sqrt{π}} 9 θ^{3} \cos (θ^{2}) d θ$

चरण 1

चूँकि $9$ बटे $θ$ अचर है, $9$ को समाकलन से हटा दें.

$9 \int_{\sqrt{\frac{π}{2}}}^{\sqrt{π}} θ^{3} \cos (θ^{2}) d θ$

चरण 2

मान लीजिए $u = θ^{2}$ .फिर $d u = 2 θ d θ$ , तो $\frac{1}{2} d u = θ d θ$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = θ^{2}$ . $\frac{d u}{d θ}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$θ^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

चरण 2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ $n θ^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 θ$

चरण 2.2

$θ$ के लिए $u = θ^{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = {\sqrt{\frac{π}{2}}}^{2}$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\sqrt{\frac{π}{2}}$ को $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}})}^{2}$

चरण 2.3.2

$\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}$

चरण 2.3.3

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}$

चरण 2.3.3.2

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}$

चरण 2.3.3.3

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}$

चरण 2.3.3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}$

चरण 2.3.3.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}$

चरण 2.3.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.6.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

चरण 2.3.3.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

चरण 2.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

चरण 2.3.3.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

चरण 2.3.3.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}$

चरण 2.3.3.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2})}^{2}$

चरण 2.3.4

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2})}^{2}$

चरण 2.3.5

उत्पाद नियम को $\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ पर लागू करें.

$u_{lower} = \frac{{\sqrt{π \cdot 2}}^{2}}{2^{2}}$

चरण 2.3.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

${\sqrt{π \cdot 2}}^{2}$ को $π \cdot 2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1.1

$\sqrt{π \cdot 2}$ को ${(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$u_{lower} = \frac{{({(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

चरण 2.3.6.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

चरण 2.3.6.1.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

चरण 2.3.6.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

चरण 2.3.6.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{1}}{2^{2}}$

चरण 2.3.6.1.5

सरल करें.

$u_{lower} = \frac{π \cdot 2}{2^{2}}$

चरण 2.3.6.2

$2$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$u_{lower} = \frac{2 π}{2^{2}}$

चरण 2.3.7

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{lower} = \frac{2 π}{4}$

चरण 2.3.8

$2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.8.1

$2 π$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{lower} = \frac{2 (π)}{4}$

चरण 2.3.8.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.8.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

चरण 2.3.8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

चरण 2.3.8.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

चरण 2.4

$θ$ के लिए $u = θ^{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

चरण 2.5

${\sqrt{π}}^{2}$ को $π$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$\sqrt{π}$ को $π^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

चरण 2.5.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

चरण 2.5.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

चरण 2.5.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

चरण 2.5.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = π^{1}$

चरण 2.5.5

सरल करें.

$u_{upper} = π$

चरण 2.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

चरण 2.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$9 \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) \frac{1}{2} d u$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{1}{2}$ और $u$ को मिलाएं.

$9 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{u}{2} \cos (u) d u$

चरण 3.2

$\frac{u}{2}$ और $\cos (u)$ को मिलाएं.

$9 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{u \cos (u)}{2} d u$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$9 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) d u)$

चरण 5

$\frac{1}{2}$ और $9$ को मिलाएं.

$\frac{9}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) d u$

चरण 6

$\int w d v = w v - \int v d w$ , जहां $w = u$ और $dv = \cos (u)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\frac{9}{2} (u \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π} - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (u) d u)$

चरण 7

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का इंटीग्रल $- \cos (u)$ है.

$\frac{9}{2} (u \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π} - (- \cos (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}))$

चरण 8

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$π$ पर और $\frac{π}{2}$ पर $u \sin (u)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{9}{2} ((π \sin (π)) - \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}))$

चरण 8.2

$π$ पर और $\frac{π}{2}$ पर $- \cos (u)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{9}{2} ((π \sin (π)) - \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) - ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{2})))$

चरण 8.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$\sin (\frac{π}{2})$ और $\frac{π}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{9}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} - ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{2})))$

चरण 8.3.2

$- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{9}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot \frac{2}{2})$

चरण 8.3.3

$- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{9}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} + \frac{- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2})$

चरण 8.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- \sin (\frac{π}{2}) π - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2})$

चरण 8.3.5

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- \sin (\frac{π}{2}) π - 2 (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))}{2})$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- 1 \cdot 1 π - 2 (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))}{2})$

चरण 9.2

$\cos (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- 1 \cdot 1 π - 2 (- \cos (π) + 0)}{2})$

चरण 9.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- π - 2 (- \cos (π) + 0)}{2})$

चरण 9.4

$- \cos (π)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- π - 2 (- \cos (π))}{2})$

चरण 9.5

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

चरण 9.6

$π \sin (π)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{9}{2} (π \sin (π) \cdot \frac{2}{2} + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

चरण 9.7

$π \sin (π)$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{9}{2} (\frac{π \sin (π) \cdot 2}{2} + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

चरण 9.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{9}{2} \cdot \frac{π \sin (π) \cdot 2 - π + 2 \cos (π)}{2}$

चरण 9.9

$2$ को $π \sin (π)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{9}{2} \cdot \frac{2 \cdot (π \sin (π)) - π + 2 \cos (π)}{2}$

चरण 9.10

$\frac{9}{2}$ को $\frac{2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π)}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{9 (2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π))}{2 \cdot 2}$

चरण 9.11

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{9 (2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π))}{4}$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$\frac{9 (2 π \sin (0) - π + 2 \cos (π))}{4}$

चरण 10.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{9 (2 π \cdot 0 - π + 2 \cos (π))}{4}$

चरण 10.3

$2 π \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

$0$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{9 (0 π - π + 2 \cos (π))}{4}$

चरण 10.3.2

$0$ को $π$ से गुणा करें.

$\frac{9 (0 - π + 2 \cos (π))}{4}$

चरण 10.4

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$\frac{9 (0 - π + 2 (- \cos (0)))}{4}$

चरण 10.5

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{9 (0 - π + 2 (- 1 \cdot 1))}{4}$

चरण 10.6

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{9 (0 - π + 2 \cdot - 1)}{4}$

चरण 10.7

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{9 (0 - π - 2)}{4}$

चरण 10.8

$0$ में से $π$ घटाएं.

$\frac{9 (- π - 2)}{4}$

चरण 10.9

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{9 (- π) + 9 \cdot - 2}{4}$

चरण 10.10

$- 1$ को $9$ से गुणा करें.

$\frac{- 9 π + 9 \cdot - 2}{4}$

चरण 10.11

$9$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{- 9 π - 18}{4}$

चरण 10.12

$- 9 π$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (9 π) - 18}{4}$

चरण 10.13

$- 18$ को $- 1 (18)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- (9 π) - 1 (18)}{4}$

चरण 10.14

$- (9 π) - 1 (18)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (9 π + 18)}{4}$

चरण 10.15

$- (9 π + 18)$ को $- 1 (9 π + 18)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (9 π + 18)}{4}$

चरण 10.16

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{9 π + 18}{4}$

चरण 11

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{9 π + 18}{4}$

दशमलव रूप:

$- 11.56858347 \dots$