कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} - \frac{2}{x^{3}}$

चरण 1

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 2

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} - \frac{2}{x^{3}} d x$

चरण 3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

चरण 4

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$3 \int \frac{1}{\sqrt{2 x - 6}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

चरण 5

मान लीजिए $u = 2 x - 6$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = 2 x - 6$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$2 x - 6$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x - 6]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - 6$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

चरण 5.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

चरण 5.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

चरण 5.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d x} [- 6]$

चरण 5.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 6$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 5.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

चरण 6.2

$2$ को $\sqrt{u}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u) + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

चरण 8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{2}$ और $3$ को मिलाएं.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

चरण 8.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

चरण 8.2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{3}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

चरण 8.2.3

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

चरण 8.2.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

चरण 8.2.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{3}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

चरण 10

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{2}{x^{3}} d x$

चरण 11

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

चरण 12

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

चरण 12.2

$x^{3}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

चरण 12.3

घातांक को ${(x^{3})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

चरण 12.3.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int x^{- 3} d x$

चरण 13

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{- 3}$ का समाकलन $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ है.

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.1

$x^{- 2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

चरण 14.1.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- 2}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

चरण 14.2

सरल करें.

$3 u^{\frac{1}{2}} - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

चरण 14.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$3 u^{\frac{1}{2}} + 2 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

चरण 14.3.2

$2$ और $\frac{1}{2 x^{2}}$ को मिलाएं.

$3 u^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{2 x^{2}} + C$

चरण 14.3.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 u^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{2 x^{2}} + C$

चरण 14.3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 u^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{2}} + C$

चरण 15

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x - 6$ से बदलें.

$3 {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{2}} + C$

चरण 16

उत्तर फलन $f (x) = \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} - \frac{2}{x^{3}}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $3 {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{2}} + C$