कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{4 x^{3}}{3} - 4 x + 1$ on $- 3$ , $1$

चरण 1

क्रांतिक बिन्दुओं को ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{4 x^{3}}{3} - 4 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

चूंकि $\frac{4}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{4 x^{3}}{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.1.2.3

$3$ और $\frac{4}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.1.2.4

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.1.2.5

$\frac{12}{3}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.1.2.6

$12$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.6.1

$12 x^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.1.2.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.6.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.1.2.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.1.2.6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.1.2.6.2.4

$4 x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$4 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.1.3.3

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$4 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 x^{2} - 4 + 0$

चरण 1.1.1.4.2

$4 x^{2} - 4$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 4 x^{2} - 4$

चरण 1.1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $4 x^{2} - 4$ है.

$4 x^{2} - 4$

चरण 1.2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $4 x^{2} - 4 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$4 x^{2} - 4 = 0$

चरण 1.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$4 x^{2} = 4$

चरण 1.2.3

$4 x^{2} = 4$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$4 x^{2} = 4$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

चरण 1.2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

चरण 1.2.3.2.1.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{4}{4}$

चरण 1.2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.1

$4$ को $4$ से विभाजित करें.

$x^{2} = 1$

चरण 1.2.4

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{1}$

चरण 1.2.5

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$x = \pm 1$

चरण 1.2.6

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 1$

चरण 1.2.6.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 1$

चरण 1.2.6.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 1, - 1$

चरण 1.3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 1.4

प्रत्येक $x$ मान पर $\frac{4 x^{3}}{3} - 4 x + 1$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$x = 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{4 {(1)}^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

चरण 1.4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{4 \cdot 1}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

चरण 1.4.1.2.1.2

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

चरण 1.4.1.2.1.3

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4}{3} - 4 + 1$

चरण 1.4.1.2.2

सामान्य भाजक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.2.1

$- 4$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{4}{3} + \frac{- 4}{1} + 1$

चरण 1.4.1.2.2.2

$\frac{- 4}{1}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{4}{3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1$

चरण 1.4.1.2.2.3

$\frac{- 4}{1}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + 1$

चरण 1.4.1.2.2.4

$1$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1}$

चरण 1.4.1.2.2.5

$\frac{1}{1}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

चरण 1.4.1.2.2.6

$\frac{1}{1}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3}$

चरण 1.4.1.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{4 - 4 \cdot 3 + 3}{3}$

चरण 1.4.1.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.4.1

$- 4$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{4 - 12 + 3}{3}$

चरण 1.4.1.2.4.2

$4$ में से $12$ घटाएं.

$\frac{- 8 + 3}{3}$

चरण 1.4.1.2.4.3

$- 8$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{- 5}{3}$

चरण 1.4.1.2.4.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{5}{3}$

चरण 1.4.2

$x = - 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$- 1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{4 {(- 1)}^{3}}{3} - 4 \cdot - 1 + 1$

चरण 1.4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1.1

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{4 \cdot - 1}{3} - 4 \cdot - 1 + 1$

चरण 1.4.2.2.1.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 4}{3} - 4 \cdot - 1 + 1$

चरण 1.4.2.2.1.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{4}{3} - 4 \cdot - 1 + 1$

चरण 1.4.2.2.1.4

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{4}{3} + 4 + 1$

चरण 1.4.2.2.2

सामान्य भाजक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.2.1

$4$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$- \frac{4}{3} + \frac{4}{1} + 1$

चरण 1.4.2.2.2.2

$\frac{4}{1}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$- \frac{4}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1$

चरण 1.4.2.2.2.3

$\frac{4}{1}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$- \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + 1$

चरण 1.4.2.2.2.4

$1$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$- \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1}$

चरण 1.4.2.2.2.5

$\frac{1}{1}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$- \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

चरण 1.4.2.2.2.6

$\frac{1}{1}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$- \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3}$

चरण 1.4.2.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 4 + 4 \cdot 3 + 3}{3}$

चरण 1.4.2.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.4.1

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{- 4 + 12 + 3}{3}$

चरण 1.4.2.2.4.2

$- 4$ और $12$ जोड़ें.

$\frac{8 + 3}{3}$

चरण 1.4.2.2.4.3

$8$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{11}{3}$

चरण 1.4.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(1, - \frac{5}{3}), (- 1, \frac{11}{3})$

चरण 2

शामिल समापन बिंदुओं पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x = - 3$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$- 3$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{4 {(- 3)}^{3}}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

चरण 2.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1

${(- 3)}^{3}$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1.1

$- 3$ को $- 1 (3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{4 {(- 1 (3))}^{3}}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

चरण 2.1.2.1.1.2

उत्पाद नियम को $- 1 (3)$ पर लागू करें.

$\frac{4 ({(- 1)}^{3} \cdot 3^{3})}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

चरण 2.1.2.1.1.3

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{4 (- 1 \cdot 3^{3})}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

चरण 2.1.2.1.1.4

$4 (- 1 \cdot 3^{3})$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (4 (- 1 \cdot 3^{2}))}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

चरण 2.1.2.1.1.5

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1.5.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (4 (- 1 \cdot 3^{2}))}{3 (1)} - 4 \cdot - 3 + 1$

चरण 2.1.2.1.1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 (4 (- 1 \cdot 3^{2}))}{3 \cdot 1} - 4 \cdot - 3 + 1$

चरण 2.1.2.1.1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4 (- 1 \cdot 3^{2})}{1} - 4 \cdot - 3 + 1$

चरण 2.1.2.1.1.5.4

$4 (- 1 \cdot 3^{2})$ को $1$ से विभाजित करें.

$4 (- 1 \cdot 3^{2}) - 4 \cdot - 3 + 1$

चरण 2.1.2.1.2

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 (- 1 \cdot 9) - 4 \cdot - 3 + 1$

चरण 2.1.2.1.3

$4 (- 1 \cdot 9)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.3.1

$- 1$ को $9$ से गुणा करें.

$4 \cdot - 9 - 4 \cdot - 3 + 1$

चरण 2.1.2.1.3.2

$4$ को $- 9$ से गुणा करें.

$- 36 - 4 \cdot - 3 + 1$

चरण 2.1.2.1.4

$- 4$ को $- 3$ से गुणा करें.

$- 36 + 12 + 1$

चरण 2.1.2.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

$- 36$ और $12$ जोड़ें.

$- 24 + 1$

चरण 2.1.2.2.2

$- 24$ और $1$ जोड़ें.

$- 23$

चरण 2.2

$x = 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{4 {(1)}^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{4 \cdot 1}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

चरण 2.2.2.1.2

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

चरण 2.2.2.1.3

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4}{3} - 4 + 1$

चरण 2.2.2.2

सामान्य भाजक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.1

$- 4$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{4}{3} + \frac{- 4}{1} + 1$

चरण 2.2.2.2.2

$\frac{- 4}{1}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{4}{3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1$

चरण 2.2.2.2.3

$\frac{- 4}{1}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + 1$

चरण 2.2.2.2.4

$1$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1}$

चरण 2.2.2.2.5

$\frac{1}{1}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

चरण 2.2.2.2.6

$\frac{1}{1}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3}$

चरण 2.2.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{4 - 4 \cdot 3 + 3}{3}$

चरण 2.2.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.4.1

$- 4$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{4 - 12 + 3}{3}$

चरण 2.2.2.4.2

$4$ में से $12$ घटाएं.

$\frac{- 8 + 3}{3}$

चरण 2.2.2.4.3

$- 8$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{- 5}{3}$

चरण 2.2.2.4.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{5}{3}$

चरण 2.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(- 3, - 23), (1, - \frac{5}{3})$

चरण 3

दिए गए अंतराल में पूर्ण अधिकतम और न्यूनतम निर्धारित करने के लिए $x$ के प्रत्येक मान के लिए पाए गए $f (x)$ मानों की तुलना करें. अधिकतम उच्चतम $f (x)$ मान पर होगा और न्यूनतम न्यूनतम $f (x)$ मान पर होगा.

निरपेक्ष उचिष्ठ: $(- 1, \frac{11}{3})$

निरपेक्ष निम्निष्ठ: $(- 3, - 23)$

चरण 4