कैलकुलस उदाहरण

${(2 + e^{3 x})}^{2}$

चरण 1

${(2 + e^{3 x})}^{2}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = {(2 + e^{3 x})}^{2}$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int {(2 + e^{3 x})}^{2} d x$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

${(2 + e^{3 x})}^{2}$ को $(2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int (2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x}) d x$

चरण 4.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x})$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int 2 (2 + e^{3 x}) + e^{3 x} (2 + e^{3 x}) d x$

चरण 4.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int 2 \cdot 2 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} (2 + e^{3 x}) d x$

चरण 4.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int 2 \cdot 2 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} \cdot 2 + e^{3 x} e^{3 x} d x$

चरण 4.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\int 4 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} \cdot 2 + e^{3 x} e^{3 x} d x$

चरण 4.3.1.2

$2$ को $e^{3 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 \cdot e^{3 x} + e^{3 x} e^{3 x} d x$

चरण 4.3.1.3

घातांक जोड़कर $e^{3 x}$ को $e^{3 x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.3.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 e^{3 x} + e^{3 x + 3 x} d x$

चरण 4.3.1.3.2

$3 x$ और $3 x$ जोड़ें.

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 e^{3 x} + e^{6 x} d x$

चरण 4.3.2

$2 e^{3 x}$ और $2 e^{3 x}$ जोड़ें.

$\int 4 + 4 e^{3 x} + e^{6 x} d x$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int 4 d x + \int 4 e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

चरण 6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$4 x + C + \int 4 e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

चरण 7

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$4 x + C + 4 \int e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

चरण 8

मान लीजिए $u_{1} = 3 x$ .फिर $d u_{1} = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

मान लें $u_{1} = 3 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$3 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 8.1.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 8.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1$

चरण 8.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 8.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$4 x + C + 4 \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

चरण 9

$e^{u_{1}}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$4 x + C + 4 \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

चरण 10

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$4 x + C + 4 (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{6 x} d x$

चरण 11

$\frac{1}{3}$ और $4$ को मिलाएं.

$4 x + C + \frac{4}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

चरण 12

$u_{1}$ के संबंध में $e^{u_{1}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{1}}$ है.

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{6 x} d x$

चरण 13

मान लीजिए $u_{2} = 6 x$ .फिर $d u_{2} = 6 d x$ , तो $\frac{1}{6} d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

मान लें $u_{2} = 6 x$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1

$6 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [6 x]$

चरण 13.1.2

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$6 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 13.1.3

$6 \cdot 1$

चरण 13.1.4

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$6$

चरण 13.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{6} d u_{2}$

चरण 14

$e^{u_{2}}$ और $\frac{1}{6}$ को मिलाएं.

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int \frac{e^{u_{2}}}{6} d u_{2}$

चरण 15

चूँकि $\frac{1}{6}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{6}$ को समाकलन से हटा दें.

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{6} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

चरण 16

$u_{2}$ के संबंध में $e^{u_{2}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{2}}$ है.

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{6} (e^{u_{2}} + C)$

चरण 17

सरल करें.

$4 x + \frac{4}{3} e^{u_{1}} + \frac{1}{6} e^{u_{2}} + C$

चरण 18

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{u_{2}} + C$

चरण 18.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $6 x$ से बदलें.

$4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$

चरण 19

उत्तर फलन $f (x) = {(2 + e^{3 x})}^{2}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$