कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{x^{4}}{{(6 x + 1)}^{3}}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{4}}{{(6 x + 1)}^{3}})$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = {(6 x + 1)}^{3}$ है.

$\frac{{(6 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 1)}^{3}]}{{({(6 x + 1)}^{3})}^{2}}$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

घातांक को ${({(6 x + 1)}^{3})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(6 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 1)}^{3}]}{{(6 x + 1)}^{3 \cdot 2}}$

चरण 3.2.1.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{{(6 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 1)}^{3}]}{{(6 x + 1)}^{6}}$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$\frac{{(6 x + 1)}^{3} (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 1)}^{3}]}{{(6 x + 1)}^{6}}$

चरण 3.2.3

$4$ को ${(6 x + 1)}^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{4 \cdot {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 1)}^{3}]}{{(6 x + 1)}^{6}}$

चरण 3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = 6 x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $6 x + 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [6 x + 1])}{{(6 x + 1)}^{6}}$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - x^{4} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 1])}{{(6 x + 1)}^{6}}$

चरण 3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $6 x + 1$ से बदलें.

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - x^{4} (3 {(6 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 1])}{{(6 x + 1)}^{6}}$

चरण 3.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 1])}{{(6 x + 1)}^{6}}$

चरण 3.4.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $6 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

चरण 3.4.3

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

चरण 3.4.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

चरण 3.4.5

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} (6 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

चरण 3.4.6

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} (6 + 0))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

चरण 3.4.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.1

$6$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} \cdot 6)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

चरण 3.4.7.2

$6$ को ${(6 x + 1)}^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} (6 \cdot {(6 x + 1)}^{2})}{{(6 x + 1)}^{6}}$

चरण 3.4.7.3

$6$ को $- 3$ से गुणा करें.

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 18 x^{4} {(6 x + 1)}^{2}}{{(6 x + 1)}^{6}}$

चरण 3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.1

$4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 18 x^{4} {(6 x + 1)}^{2}$ में से $2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.1.1

$4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3}$ में से $2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (2 (6 x + 1)) - 18 x^{4} {(6 x + 1)}^{2}}{{(6 x + 1)}^{6}}$

चरण 3.5.1.1.2

$- 18 x^{4} {(6 x + 1)}^{2}$ में से $2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (2 (6 x + 1)) + 2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (- 9 x)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

चरण 3.5.1.1.3

$2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (2 (6 x + 1)) + 2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (- 9 x)$ में से $2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (2 (6 x + 1) - 9 x)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

चरण 3.5.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (2 (6 x) + 2 \cdot 1 - 9 x)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

चरण 3.5.1.3

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (12 x + 2 \cdot 1 - 9 x)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

चरण 3.5.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (12 x + 2 - 9 x)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

चरण 3.5.1.5

$12 x$ में से $9 x$ घटाएं.

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (3 x + 2)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

चरण 3.5.2

${(6 x + 1)}^{2}$ और ${(6 x + 1)}^{6}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (3 x + 2)$ में से ${(6 x + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(6 x + 1)}^{2} (2 x^{3} (3 x + 2))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

चरण 3.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.2.1

${(6 x + 1)}^{6}$ में से ${(6 x + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(6 x + 1)}^{2} (2 x^{3} (3 x + 2))}{{(6 x + 1)}^{2} {(6 x + 1)}^{4}}$

चरण 3.5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{{(6 x + 1)}^{2} (2 x^{3} (3 x + 2))}{{(6 x + 1)}^{2} {(6 x + 1)}^{4}}$

चरण 3.5.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 x^{3} (3 x + 2)}{{(6 x + 1)}^{4}}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{2 x^{3} (3 x + 2)}{{(6 x + 1)}^{4}}$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{3} (3 x + 2)}{{(6 x + 1)}^{4}}$