कैलकुलस उदाहरण

$2 y e^{x} - y \cos (2 x y)$

चरण 1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $2 y e^{x} - y \cos (2 x y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [2 y e^{x}] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [2 y e^{x}] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

चरण 2

$\frac{d}{d y} [2 y e^{x}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 2.1

चूंकि $2 e^{x}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 y e^{x}$ का व्युत्पन्न $2 e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ है.

$2 e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

चरण 2.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 e^{x} + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

चरण 3

$\frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 3.1

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- y \cos (2 x y)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [y \cos (2 x y)]$ है.

$2 e^{x} - \frac{d}{d y} [y \cos (2 x y)]$

चरण 3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ है, जहाँ $f (y) = y$ और $g (y) = \cos (2 x y)$ है.

$2 e^{x} - (y \frac{d}{d y} [\cos (2 x y)] + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = \cos (y)$ और $g (y) = 2 x y$ है.

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चरण 3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x y$ के रूप में सेट करें.

$2 e^{x} - (y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 3.3.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$2 e^{x} - (y (- \sin (u) \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x y$ से बदलें.

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 3.4

चूंकि $2 x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 x y$ का व्युत्पन्न $2 x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \frac{d}{d y} [y])) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 3.5

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \cdot 1)) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

चरण 3.6

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \cdot 1)) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

चरण 3.7

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x)) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

चरण 3.8

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

चरण 3.9

$\cos (2 x y)$ को $1$ से गुणा करें.

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x) + \cos (2 x y))$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x)) - \cos (2 x y)$

चरण 4.2

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 e^{x} + 2 y (\sin (2 x y) x) - \cos (2 x y)$

चरण 4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 x y \sin (2 x y) + 2 e^{x} - \cos (2 x y)$