कैलकुलस उदाहरण

$\int e^{8 θ} \sin (9 θ) d θ$

चरण 1

$e^{8 θ}$ और $\sin (9 θ)$ को पुन: क्रमित करें.

$\int \sin (9 θ) e^{8 θ} d θ$

चरण 2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \sin (9 θ)$ और $d v = e^{8 θ}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\sin (9 θ) (\frac{1}{8} e^{8 θ}) - \int \frac{1}{8} e^{8 θ} (9 \cos (9 θ)) d θ$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{8} \cdot 9$ बटे $θ$ अचर है, $\frac{1}{8} \cdot 9$ को समाकलन से हटा दें.

$\sin (9 θ) (\frac{1}{8} e^{8 θ}) - (\frac{1}{8} \cdot 9 \int e^{8 θ} (\cos (9 θ)) d θ)$

चरण 4

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{1}{8}$ और $e^{8 θ}$ को मिलाएं.

$\sin (9 θ) \frac{e^{8 θ}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot 9 \int e^{8 θ} (\cos (9 θ)) d θ)$

चरण 4.2

$\sin (9 θ)$ और $\frac{e^{8 θ}}{8}$ को मिलाएं.

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot 9 \int e^{8 θ} (\cos (9 θ)) d θ)$

चरण 4.3

$\frac{1}{8}$ और $9$ को मिलाएं.

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} \int e^{8 θ} (\cos (9 θ)) d θ)$

चरण 4.4

$e^{8 θ}$ और $\cos (9 θ)$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} \int \cos (9 θ) e^{8 θ} d θ)$

चरण 5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \cos (9 θ)$ और $d v = e^{8 θ}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\cos (9 θ) (\frac{1}{8} e^{8 θ}) - \int \frac{1}{8} e^{8 θ} (- 9 \sin (9 θ)) d θ))$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{8} \cdot - 9$ बटे $θ$ अचर है, $\frac{1}{8} \cdot - 9$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\cos (9 θ) (\frac{1}{8} e^{8 θ}) - (\frac{1}{8} \cdot - 9 \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)))$

चरण 7

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{8}$ और $e^{8 θ}$ को मिलाएं.

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\cos (9 θ) \frac{e^{8 θ}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot - 9 \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)))$

चरण 7.2

$\cos (9 θ)$ और $\frac{e^{8 θ}}{8}$ को मिलाएं.

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\frac{\cos (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot - 9 \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)))$

चरण 7.3

$\frac{1}{8}$ और $- 9$ को मिलाएं.

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\frac{\cos (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)))$

चरण 7.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9}{8} \cdot \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9}{8} (- (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ))$

चरण 7.5

$\frac{\cos (9 θ) e^{8 θ}}{8}$ को $\frac{9}{8}$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{8 \cdot 8} - \frac{9}{8} (- (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ))$

चरण 7.6

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.1

$8$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} - \frac{9}{8} (- (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ))$

चरण 7.6.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + 1 (\frac{9}{8}) (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)$

चरण 7.6.3

$\frac{9}{8}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + \frac{9}{8} (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)$

चरण 7.7

$\frac{- 9}{8}$ को $\frac{9}{8}$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + \frac{- 9 \cdot 9}{8 \cdot 8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ$

चरण 7.8

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.8.1

$- 9$ को $9$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + \frac{- 81}{8 \cdot 8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ$

चरण 7.8.2

$8$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + \frac{- 81}{64} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ$

चरण 8

$\int e^{8 θ} \sin (9 θ) d θ$ को हल करने पर, हम पाते हैं कि $\int e^{8 θ} \sin (9 θ) d θ$ = $\frac{\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64}}{\frac{145}{64}}$ .

$\frac{\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64}}{\frac{145}{64}} + C$

चरण 9

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.1

$9$ को $\cos (9 θ) e^{8 θ}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9 \cdot (\cos (9 θ) e^{8 θ})}{64}}{\frac{145}{64}} + C$

चरण 9.1.1.2

$\frac{145}{64}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}) \frac{64}{145} + C$

चरण 9.1.2

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}) \frac{64}{145} + C$ को $(\frac{1}{8} \sin (9 θ) e^{8 θ} - \frac{9}{64} \cos (9 θ) e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$(\frac{1}{8} \sin (9 θ) e^{8 θ} - \frac{9}{64} \cos (9 θ) e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$

चरण 9.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

$\frac{1}{8}$ और $\sin (9 θ)$ को मिलाएं.

$(\frac{\sin (9 θ)}{8} e^{8 θ} - \frac{9}{64} \cos (9 θ) e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$

चरण 9.1.3.2

$\frac{\sin (9 θ)}{8}$ और $e^{8 θ}$ को मिलाएं.

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9}{64} \cos (9 θ) e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$

चरण 9.1.3.3

$\cos (9 θ)$ और $\frac{9}{64}$ को मिलाएं.

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) \cdot 9}{64} e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$

चरण 9.1.3.4

$e^{8 θ}$ और $\frac{\cos (9 θ) \cdot 9}{64}$ को मिलाएं.

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{e^{8 θ} (\cos (9 θ) \cdot 9)}{64}) \frac{64}{145} + C$

चरण 9.1.3.5

$9$ को $\cos (9 θ)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{e^{8 θ} (9 \cos (9 θ))}{64}) \frac{64}{145} + C$

चरण 9.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.4.1

गुणनखंडों को $\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8}$ में पुन: क्रमित करें.

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{e^{8 θ} (9 \cos (9 θ))}{64}) \frac{64}{145} + C$

चरण 9.1.4.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.4.2.1

फिर से लिखें.

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{e^{8 θ} (\cos (9 θ) \cdot 9)}{64}) \frac{64}{145} + C$

चरण 9.1.4.2.2

$9$ को $\cos (9 θ)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{e^{8 θ} (9 \cdot \cos (9 θ))}{64}) \frac{64}{145} + C$

चरण 9.1.4.2.3

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{e^{8 θ} \cdot 9 \cos (9 θ)}{64}) \frac{64}{145} + C$

चरण 9.1.4.3

$9$ को $e^{8 θ}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(\frac{1}{8} e^{8 θ} \sin (9 θ) - \frac{9}{64} e^{8 θ} \cos (9 θ)) \frac{64}{145} + C$

चरण 9.2

$(\frac{1}{8} e^{8 θ} \sin (9 θ) - \frac{9}{64} e^{8 θ} \cos (9 θ)) \frac{64}{145} + C$ को $(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}) \frac{64}{145} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}) \frac{64}{145} + C$

चरण 9.3

गुणनखंडों को $\frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}$ में पुन: क्रमित करें.

$(\frac{1}{8} e^{8 θ} \sin (9 θ) - \frac{9}{64} e^{8 θ} \cos (9 θ)) \frac{64}{145} + C$