कैलकुलस उदाहरण

$y = \sqrt[3]{\frac{1 + x^{2}}{x - 4}}$

चरण 1

$\sqrt[3]{\frac{1 + x^{2}}{x - 4}}$ को ${(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y = {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3}}$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3}})$

चरण 3

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 4

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ और $g (x) = \frac{1 + x^{2}}{x - 4}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{1 + x^{2}}{x - 4}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

चरण 4.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{3}$ है.

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

चरण 4.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{1 + x^{2}}{x - 4}$ से बदलें.

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

चरण 4.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

चरण 4.3

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

चरण 4.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

चरण 4.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

चरण 4.5.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

चरण 4.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

चरण 4.7

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 1 + x^{2}$ और $g (x) = x - 4$ है.

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x - 4) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

चरण 4.8

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x - 4) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

चरण 4.8.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x - 4) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

चरण 4.8.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ जोड़ें.

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

चरण 4.8.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x - 4) (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

चरण 4.8.5

$2$ को $x - 4$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 \cdot (x - 4) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

चरण 4.8.6

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

चरण 4.8.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

चरण 4.8.8

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2}) (1 + 0)}{{(x - 4)}^{2}}$

चरण 4.8.9

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.9.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2}) \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

चरण 4.8.9.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{{(x - 4)}^{2}}$

चरण 4.8.9.3

$\frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{{(x - 4)}^{2}}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{{(x - 4)}^{2} \cdot 3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}}$

चरण 4.8.9.4

$3$ को ${(x - 4)}^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{3 \cdot {(x - 4)}^{2}} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}}$

चरण 4.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.1

आधार को उसके व्युत्क्रम के रूप में फिर से लिखकर घातांक के चिह्न को बदलें.

$\frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{3 {(x - 4)}^{2}} {(\frac{x - 4}{1 + x^{2}})}^{\frac{2}{3}}$

चरण 4.9.2

उत्पाद नियम को $\frac{x - 4}{1 + x^{2}}$ पर लागू करें.

$\frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.9.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 4) x - (1 + x^{2})}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.9.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 4 x - (1 + x^{2})}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.9.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 4 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.9.6

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.6.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 4 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.9.6.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 4 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.9.6.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 4 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.9.6.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 4 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.9.6.5

$2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.9.6.6

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.9.6.7

$2 x^{2}$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.9.6.8

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{2}}$ को $\frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ से गुणा करें.

$\frac{(x^{2} - 8 x - 1) {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 4)}^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.9.6.9

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ का उपयोग करके ${(x - 4)}^{\frac{2}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}} {(x - 4)}^{- \frac{2}{3}}}$

चरण 4.9.6.10

घातांक जोड़कर ${(x - 4)}^{2}$ को ${(x - 4)}^{- \frac{2}{3}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.6.10.1

${(x - 4)}^{- \frac{2}{3}}$ ले जाएं.

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 ({(x - 4)}^{- \frac{2}{3}} {(x - 4)}^{2}) {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.9.6.10.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{- \frac{2}{3} + 2} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.9.6.10.3

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.9.6.10.4

$2$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.9.6.10.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.9.6.10.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.6.10.6.1

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{\frac{- 2 + 6}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 4.9.6.10.6.2

$- 2$ और $6$ जोड़ें.

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{\frac{4}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{\frac{4}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{\frac{4}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$