कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$

चरण 1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $- \frac{1}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{1}{3} x^{3}$ का व्युत्पन्न $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$- \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

चरण 1.1.2.3

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 3 (\frac{1}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

चरण 1.1.2.4

$- 3$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

चरण 1.1.2.5

$\frac{- 3}{3}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

चरण 1.1.2.6

$- 3$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.6.1

$- 3 x^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

चरण 1.1.2.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.6.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

चरण 1.1.2.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

चरण 1.1.2.6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

चरण 1.1.2.6.2.4

$- x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 9 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$- x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- x^{2} - 9 (2 x)$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $- 9$ से गुणा करें.

$f' (x) = - x^{2} - 18 x$

चरण 1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- x^{2} - 18 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$ है.

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

चरण 1.2.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

चरण 1.2.2.2

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

चरण 1.2.2.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 x + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

चरण 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 18 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

चूंकि $- 18$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 18 x$ का व्युत्पन्न $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 2 x - 18 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 2 x - 18 \cdot 1$

चरण 1.2.3.3

$- 18$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 2 x - 18$

चरण 1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 2 x - 18$ है.

$- 2 x - 18$

चरण 2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 2 x - 18 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 2 x - 18 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $18$ जोड़ें.

$- 2 x = 18$

चरण 2.3

$- 2 x = 18$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- 2 x = 18$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से विभाजित करें.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{18}{- 2}$

चरण 2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$- 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{18}{- 2}$

चरण 2.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{18}{- 2}$

चरण 2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$18$ को $- 2$ से विभाजित करें.

$x = - 9$

चरण 3

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $- 9$ को $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 9$ से बदलें.

$f (- 9) = - \frac{1}{3} \cdot {(- 9)}^{3} - 9 {(- 9)}^{2}$

चरण 3.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.1

$- 9$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 9) = - \frac{1}{3} \cdot - 729 - 9 {(- 9)}^{2}$

चरण 3.1.2.1.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.2.1

$- \frac{1}{3}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot - 729 - 9 {(- 9)}^{2}$

चरण 3.1.2.1.2.2

$- 729$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 243)) - 9 {(- 9)}^{2}$

चरण 3.1.2.1.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 243) - 9 {(- 9)}^{2}$

चरण 3.1.2.1.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (- 9) = - 1 \cdot - 243 - 9 {(- 9)}^{2}$

चरण 3.1.2.1.3

$- 1$ को $- 243$ से गुणा करें.

$f (- 9) = 243 - 9 {(- 9)}^{2}$

चरण 3.1.2.1.4

घातांक जोड़कर $- 9$ को ${(- 9)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.4.1

$- 9$ को ${(- 9)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.4.1.1

$- 9$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 9) = 243 + (- 9) {(- 9)}^{2}$

चरण 3.1.2.1.4.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f (- 9) = 243 + {(- 9)}^{1 + 2}$

चरण 3.1.2.1.4.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f (- 9) = 243 + {(- 9)}^{3}$

चरण 3.1.2.1.5

$- 9$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 9) = 243 - 729$

चरण 3.1.2.2

$243$ में से $729$ घटाएं.

$f (- 9) = - 486$

चरण 3.1.2.3

अंतिम उत्तर $- 486$ है.

$- 486$

चरण 3.2

$- 9$ को $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(- 9, - 486)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(- 9, - 486)$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, - 9)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 9.1$ से बदलें.

$f'' (- 9.1) = - 2 \cdot - 9.1 - 18$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$- 2$ को $- 9.1$ से गुणा करें.

$f'' (- 9.1) = 18.2 - 18$

चरण 5.2.2

$18.2$ में से $18$ घटाएं.

$f'' (- 9.1) = 0.2$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $0.2$ है.

$0.2$

चरण 5.3

$- 9.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $0.2$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(- \infty, - 9)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, - 9)$ पर बढ़ रहा है

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- 9, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 8.9$ से बदलें.

$f'' (- 8.9) = - 2 \cdot - 8.9 - 18$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$- 2$ को $- 8.9$ से गुणा करें.

$f'' (- 8.9) = 17.8 - 18$

चरण 6.2.2

$17.8$ में से $18$ घटाएं.

$f'' (- 8.9) = - 0.2$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 0.2$ है.

$- 0.2$

चरण 6.3

$- 8.9$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 0.2$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- 9, \infty)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- 9, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 7

एक विभक्ति बिंदु एक वक्र पर एक बिंदु है, जिस पर अवतलता संकेत को जोड़ से घटाव या घटाव से जोड़ में बदल देती है. इस मामले में विभक्ति बिंदु $(- 9, - 486)$ है.

$(- 9, - 486)$

चरण 8