कैलकुलस उदाहरण

$\int_{1}^{2} (x + 1) e^{- 2 x} d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x + 1$ और $d v = e^{- 2 x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$(x + 1) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$e^{- 2 x}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

चरण 2.2

$e^{- 2 x}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - - \int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + 1 \int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

चरण 4.2

$\int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ को $1$ से गुणा करें.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{1}^{2} e^{- 2 x} d x$

चरण 6

मान लीजिए $u = - 2 x$ .फिर $d u = - 2 d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u = - 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$- 2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 6.1.2

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 6.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 2 \cdot 1$

चरण 6.1.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2$

चरण 6.2

$x$ के लिए $u = - 2 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = - 2 \cdot 1$

चरण 6.3

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{lower} = - 2$

चरण 6.4

$x$ के लिए $u = - 2 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = - 2 \cdot 2$

चरण 6.5

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$u_{upper} = - 4$

चरण 6.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 4$

चरण 6.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

चरण 7.2

$e^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} - \frac{e^{u}}{2} d u$

चरण 8

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} (- \int_{- 2}^{- 4} \frac{e^{u}}{2} d u)$

चरण 9

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} d u))$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} d u$

चरण 10.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \frac{1}{4} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} d u$

चरण 11

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \frac{1}{4} e^{u}]_{- 2}^{- 4}$

चरण 12

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$2$ पर और $1$ पर $(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})$ का मान ज्ञात करें.

$((2 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 2}}{2})) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} e^{u}]_{- 2}^{- 4}$

चरण 12.2

$- 4$ पर और $- 2$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$((2 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 2}}{2})) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

चरण 12.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

$2$ और $1$ जोड़ें.

$3 (- \frac{e^{- 2 \cdot 2}}{2}) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

चरण 12.3.2

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$3 (- \frac{e^{- 4}}{2}) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

चरण 12.3.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $e^{- 4}$ को भाजक में ले जाएँ.

$3 (- \frac{1}{2 e^{4}}) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

चरण 12.3.4

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$- 3 \frac{1}{2 e^{4}} - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

चरण 12.3.5

$- 3$ और $\frac{1}{2 e^{4}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 3}{2 e^{4}} - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

चरण 12.3.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{3}{2 e^{4}} - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

चरण 12.3.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 1 \cdot 2 (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

चरण 12.3.8

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 2 (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

चरण 12.3.9

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 2 (- \frac{e^{- 2}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

चरण 12.3.10

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $e^{- 2}$ को भाजक में ले जाएँ.

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 2 (- \frac{1}{2 e^{2}}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

चरण 12.3.11

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$- \frac{3}{2 e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

चरण 12.3.12

$2$ और $\frac{1}{2 e^{2}}$ को मिलाएं.

$- \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{2}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

चरण 12.3.13

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.13.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{2}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

चरण 12.3.13.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{1}{e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

चरण 12.3.14

$- \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2 e^{4}}{2 e^{4}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{e^{2}} - \frac{3}{2 e^{4}} - \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) \cdot \frac{2 e^{4}}{2 e^{4}}$

चरण 12.3.15

$- \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})$ और $\frac{2 e^{4}}{2 e^{4}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{e^{2}} - \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{- \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) (2 e^{4})}{2 e^{4}}$

चरण 12.3.16

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) (2 e^{4})}{2 e^{4}}$

चरण 12.3.17

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - 2 (\frac{1}{4}) (e^{- 4} - e^{- 2}) e^{4}}{2 e^{4}}$

चरण 12.3.18

$- 2$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{- 2}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) e^{4}}{2 e^{4}}$

चरण 12.3.19

$e^{4}$ और $\frac{- 2}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{e^{4} \cdot - 2}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

चरण 12.3.20

$- 2$ को $e^{4}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{- 2 \cdot e^{4}}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

चरण 12.3.21

$- 2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.21.1

$- 2 e^{4}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{2 (- e^{4})}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

चरण 12.3.21.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.21.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{2 (- e^{4})}{2 (2)} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

चरण 12.3.21.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{2 (- e^{4})}{2 \cdot 2} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

चरण 12.3.21.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{- e^{4}}{2} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

चरण 12.3.22

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{4}}{2} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{4}}{2} e^{- 4} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

चरण 13.1.1.2

$- \frac{e^{4}}{2} e^{- 4}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1.2.1

$e^{- 4}$ और $\frac{e^{4}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{- 4} e^{4}}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

चरण 13.1.1.2.2

घातांक जोड़कर $e^{- 4}$ को $e^{4}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1.2.2.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{- 4 + 4}}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

चरण 13.1.1.2.2.2

$- 4$ और $4$ जोड़ें.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{0}}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

चरण 13.1.1.2.3

$e^{0}$ को सरल करें.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

चरण 13.1.1.3

$- \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + 1 \frac{e^{4}}{2} e^{- 2}}{2 e^{4}}$

चरण 13.1.1.3.2

$\frac{e^{4}}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{4}}{2} e^{- 2}}{2 e^{4}}$

चरण 13.1.1.3.3

$\frac{e^{4}}{2}$ और $e^{- 2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{4} e^{- 2}}{2}}{2 e^{4}}$

चरण 13.1.1.3.4

घातांक जोड़कर $e^{4}$ को $e^{- 2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1.3.4.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{4 - 2}}{2}}{2 e^{4}}$

चरण 13.1.1.3.4.2

$4$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

चरण 13.1.1.4

$- 3$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

चरण 13.1.1.5

$- 3$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

चरण 13.1.1.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 3 \cdot 2 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

चरण 13.1.1.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1.7.1

$- 3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 6 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

चरण 13.1.1.7.2

$- 6$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 7}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

चरण 13.1.1.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 7 + e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

चरण 13.1.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{4}}$

चरण 13.1.3

$\frac{- 7 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{4}}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.3.1

$\frac{- 7 + e^{2}}{2}$ को $\frac{1}{2 e^{4}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{2 (2 e^{4})}$

चरण 13.1.3.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

चरण 13.2

$\frac{1}{e^{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4 e^{2}}{4 e^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{e^{2}} \cdot \frac{4 e^{2}}{4 e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

चरण 13.3

प्रत्येक व्यंजक को $4 e^{4}$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1

$\frac{1}{e^{2}}$ को $\frac{4 e^{2}}{4 e^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{4 e^{2}}{e^{2} (4 e^{2})} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

चरण 13.3.2

घातांक जोड़कर $e^{2}$ को $e^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.2.1

$e^{2}$ ले जाएं.

$\frac{4 e^{2}}{e^{2} e^{2} \cdot 4} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

चरण 13.3.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{4 e^{2}}{e^{2 + 2} \cdot 4} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

चरण 13.3.2.3

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{4 e^{2}}{e^{4} \cdot 4} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

चरण 13.3.3

$e^{4} \cdot 4$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{4 e^{2}}{4 e^{4}} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

चरण 13.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{4 e^{2} - 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

चरण 13.5

$4 e^{2}$ और $e^{2}$ जोड़ें.

$\frac{5 e^{2} - 7}{4 e^{4}}$

चरण 14

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{5 e^{2} - 7}{4 e^{4}}$

दशमलव रूप:

$0.13711673 \dots$

चरण 15