कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{2} (4 x + 5) e^{- x} d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = 4 x + 5$ और $d v = e^{- x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} - e^{- x} \cdot 4 d x$

चरण 2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} - 4 e^{- x} d x$

चरण 3

चूँकि $- 4$ बटे $x$ अचर है, $- 4$ को समाकलन से हटा दें.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - (- 4 \int_{0}^{2} e^{- x} d x)$

चरण 4

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 \int_{0}^{2} e^{- x} d x$

चरण 5

मान लीजिए $u = - x$ .फिर $d u = - d x$ , तो $- d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = - x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$- x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- x]$

चरण 5.1.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \frac{d}{d x} [x]$

चरण 5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 1 \cdot 1$

चरण 5.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1$

चरण 5.2

$x$ के लिए $u = - x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = - 0$

चरण 5.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 5.4

$x$ के लिए $u = - x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

चरण 5.5

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$u_{upper} = - 2$

चरण 5.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

चरण 5.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u$

चरण 6

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

चरण 7

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - 4 \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

चरण 8

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - 4 (e^{u}]_{0}^{- 2})$

चरण 9

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$2$ पर और $0$ पर $(4 x + 5) (- e^{- x})$ का मान ज्ञात करें.

$((4 \cdot 2 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2})) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 (e^{u}]_{0}^{- 2})$

चरण 9.2

$- 2$ पर और $0$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$((4 \cdot 2 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2})) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 9.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$(8 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 9.3.2

$8$ और $5$ जोड़ें.

$13 (- e^{- 1 \cdot 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 9.3.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$13 (- e^{- 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 9.3.4

$- 1$ को $13$ से गुणा करें.

$- 13 e^{- 2} - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 9.3.5

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$- 13 e^{- 2} - (0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 9.3.6

$0$ और $5$ जोड़ें.

$- 13 e^{- 2} - 1 \cdot 5 (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 9.3.7

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$- 13 e^{- 2} - 5 (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 9.3.8

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$- 13 e^{- 2} - 5 (- e^{0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 9.3.9

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$- 13 e^{- 2} - 5 (- 1 \cdot 1) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 9.3.10

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 13 e^{- 2} - 5 \cdot - 1 - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 9.3.11

$- 5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 9.3.12

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

चरण 9.3.13

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 13 \frac{1}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

चरण 10.1.2

$- 13$ और $\frac{1}{e^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 13}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

चरण 10.1.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

चरण 10.1.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 e^{- 2} - 4 \cdot - 1$

चरण 10.1.5

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 e^{- 2} + 4$

चरण 10.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 \frac{1}{e^{2}} + 4$

चरण 10.2.2

$- 4$ और $\frac{1}{e^{2}}$ को मिलाएं.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 + \frac{- 4}{e^{2}} + 4$

चरण 10.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - \frac{4}{e^{2}} + 4$

चरण 10.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$5 + 4 + \frac{- 13 - 4}{e^{2}}$

चरण 10.4

$- 13$ में से $4$ घटाएं.

$5 + 4 + \frac{- 17}{e^{2}}$

चरण 10.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$5 + 4 - \frac{17}{e^{2}}$

चरण 10.6

$5$ और $4$ जोड़ें.

$9 - \frac{17}{e^{2}}$

चरण 11

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$9 - \frac{17}{e^{2}}$

दशमलव रूप:

$6.69930018 \dots$

चरण 12