कैलकुलस उदाहरण

$\int 2 x e^{- 2 x} d x$

चरण 1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int x e^{- 2 x} d x$

चरण 2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{- 2 x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$2 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$e^{- 2 x}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$2 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

चरण 3.2

$x$ और $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ को मिलाएं.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

चरण 3.3

$e^{- 2 x}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

चरण 4

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

चरण 5.2

$\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

चरण 7

मान लीजिए $u = - 2 x$ .फिर $d u = - 2 d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

मान लें $u = - 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$- 2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 7.1.2

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 7.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 2 \cdot 1$

चरण 7.1.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2$

चरण 7.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

चरण 8.2

$e^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

चरण 9

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

चरण 10

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

चरण 11.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

चरण 12

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ को $2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

चरण 13.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

$x$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$2 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

चरण 13.2.2

$e^{- 2 x}$ और $\frac{x}{2}$ को मिलाएं.

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

चरण 13.2.3

$e^{u}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

चरण 14

$u$ की सभी घटनाओं को $- 2 x$ से बदलें.

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2}) + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

चरण 15.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

चरण 15.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

चरण 15.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- e^{- 2 x} x + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

चरण 15.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.3.1

$- \frac{e^{- 2 x}}{4}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

चरण 15.3.2

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{2 (2)} + C$

चरण 15.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{2 \cdot 2} + C$

चरण 15.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- e^{- 2 x} x + \frac{- e^{- 2 x}}{2} + C$

चरण 15.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- e^{- 2 x} x - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

चरण 15.5

एक सामान्य भाजक का उपयोग करके $- e^{- 2 x} x$ और $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$ को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.5.1

$e^{- 2 x}$ ले जाएं.

$- x e^{- 2 x} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

चरण 15.5.2

$- x e^{- 2 x}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- x e^{- 2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

चरण 15.5.3

$- x e^{- 2 x}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{- x e^{- 2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

चरण 15.5.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- x e^{- 2 x} \cdot 2 - e^{- 2 x}}{2} + C$

चरण 15.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.6.1

$- x e^{- 2 x} \cdot 2 - e^{- 2 x}$ में से $e^{- 2 x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.6.1.1

$- x e^{- 2 x} \cdot 2$ में से $e^{- 2 x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2) - e^{- 2 x}}{2} + C$

चरण 15.6.1.2

$- e^{- 2 x}$ में से $e^{- 2 x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot - 1}{2} + C$

चरण 15.6.1.3

$e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot - 1$ में से $e^{- 2 x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2 - 1)}{2} + C$

चरण 15.6.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{2} + C$

चरण 15.7

$- 2 x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x) - 1)}{2} + C$

चरण 15.8

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x) - 1 (1))}{2} + C$

चरण 15.9

$- (2 x) - 1 (1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x + 1))}{2} + C$

चरण 15.10

$- (2 x + 1)$ को $- 1 (2 x + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{e^{- 2 x} (- 1 (2 x + 1))}{2} + C$

चरण 15.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C$

चरण 16

कोष्ठक हटा दें.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x + 1) + C$