कैलकुलस उदाहरण

$\sqrt{x^{2} - 1}$

चरण 1

$\sqrt{x^{2} - 1}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \sqrt{x^{2} - 1} d x$

चरण 4

मान लीजिए $x = \sec (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\sec (t) \tan (t)$ सकारात्मक है.

$\int \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} (\sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 5

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \sqrt{\tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 5.1.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$\tan (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

चरण 5.2.2

$\tan (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

चरण 5.2.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

चरण 5.2.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

चरण 6

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

चरण 7

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\tan^{2} (t)$ को $- 1 + \sec^{2} (t)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

चरण 8

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

चरण 8.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

$\int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

चरण 9

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t$

चरण 10

चूँकि $- 1$ बटे $t$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t$

चरण 11

$t$ के संबंध में $\sec (t)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ है.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t$

चरण 12

$\sec^{3} (t)$ में से $\sec (t)$ का गुणनखंड करें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

चरण 13

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \sec (t)$ और $d v = \sec^{2} (t)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 14

$\tan (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

चरण 15

$\tan (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

चरण 16

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

चरण 17

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

चरण 17.2

$\tan^{2} (t)$ और $\sec (t)$ को पुन: क्रमित करें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

चरण 18

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\tan^{2} (t)$ को $- 1 + \sec^{2} (t)$ के रूप में फिर से लिखें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

चरण 19

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1

एक गुणनफल के रूप में घातांक को फिर से लिखें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

चरण 19.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

चरण 19.3

$\sec (t)$ और $- 1$ को पुन: क्रमित करें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

चरण 20

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

चरण 21

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

चरण 22

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

चरण 23

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

चरण 24

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

चरण 25

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

चरण 26

$2$ और $1$ जोड़ें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

चरण 27

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

चरण 28

चूँकि $- 1$ बटे $t$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

चरण 29

$t$ के संबंध में $\sec (t)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ है.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

चरण 30

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 30.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

चरण 30.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

चरण 31

$\int \sec^{3} (t) d t$ को हल करने पर, हम पाते हैं कि $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C$

चरण 32

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ को $1$ से गुणा करें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C$

चरण 33

सरल करें.

$- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

चरण 34

$t$ की सभी घटनाओं को $arcsec (x)$ से बदलें.

$- \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |) + \frac{1}{2} (\sec (arcsec (x)) \tan (arcsec (x)) + \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |)) + C$

चरण 35

उत्तर फलन $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $- \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |) + \frac{1}{2} (\sec (arcsec (x)) \tan (arcsec (x)) + \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |)) + C$