कैलकुलस उदाहरण

$\int x^{7} \cos (x^{4}) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = x^{2}$ .फिर $d u_{1} = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{1} = x^{2}$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x$

चरण 1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int {\sqrt{u_{1}}}^{6} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ को ${u_{1}}^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\sqrt{u_{1}}$ को ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.3

$\frac{1}{2}$ और $6$ को मिलाएं.

$\int {u_{1}}^{\frac{6}{2}} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.4

$6$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int {u_{1}}^{\frac{3}{1}} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.1.4.2.4

$3$ को $1$ से विभाजित करें.

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.2

${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ को ${u_{1}}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\sqrt{u_{1}}$ को ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.2.3

$\frac{1}{2}$ और $4$ को मिलाएं.

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{4}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.2.4

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.2.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.2.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{2}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.2.4.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{2}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2.3

$\frac{1}{2}$ और ${u_{1}}^{3}$ को मिलाएं.

$\int \frac{{u_{1}}^{3}}{2} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

चरण 2.4

$\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ और $\cos ({u_{1}}^{2})$ को मिलाएं.

$\int \frac{{u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{2})}{2} d u_{1}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

चरण 4

मान लीजिए $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .फिर $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

${u_{1}}^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

चरण 4.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u_{1}$

चरण 4.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int u_{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1}{2}$ और $u_{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} \int \frac{u_{2}}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

चरण 5.2

$\frac{u_{2}}{2}$ और $\cos (u_{2})$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} \int \frac{u_{2} \cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2})$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

चरण 7.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} \int u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

चरण 8

$\int w d v = w v - \int v d w$ , जहां $w = u_{2}$ और $dv = \cos (u_{2})$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\frac{1}{4} (u_{2} \sin (u_{2}) - \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

चरण 9

$u_{2}$ के संबंध में $\sin (u_{2})$ का इंटीग्रल $- \cos (u_{2})$ है.

$\frac{1}{4} (u_{2} \sin (u_{2}) - (- \cos (u_{2}) + C))$

चरण 10

$\frac{1}{4} (u_{2} \sin (u_{2}) - (- \cos (u_{2}) + C))$ को $\frac{1}{4} (u_{2} \sin (u_{2}) + \cos (u_{2})) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} (u_{2} \sin (u_{2}) + \cos (u_{2})) + C$

चरण 11

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को ${u_{1}}^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{4} ({u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{2}) + \cos ({u_{1}}^{2})) + C$

चरण 11.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{4} ({(x^{2})}^{2} \sin ({(x^{2})}^{2}) + \cos ({(x^{2})}^{2})) + C$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

घातांक को ${(x^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (x^{2 \cdot 2} \sin ({(x^{2})}^{2}) + \cos ({(x^{2})}^{2})) + C$

चरण 12.1.1.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin ({(x^{2})}^{2}) + \cos ({(x^{2})}^{2})) + C$

चरण 12.1.2

घातांक को ${(x^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{2 \cdot 2}) + \cos ({(x^{2})}^{2})) + C$

चरण 12.1.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{4}) + \cos ({(x^{2})}^{2})) + C$

चरण 12.1.3

घातांक को ${(x^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{4}) + \cos (x^{2 \cdot 2})) + C$

चरण 12.1.3.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{4}) + \cos (x^{4})) + C$

चरण 12.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{4})) + \frac{1}{4} \cos (x^{4}) + C$

चरण 12.3

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{4}))$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

$x^{4}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{4}}{4} \sin (x^{4}) + \frac{1}{4} \cos (x^{4}) + C$

चरण 12.3.2

$\frac{x^{4}}{4}$ और $\sin (x^{4})$ को मिलाएं.

$\frac{x^{4} \sin (x^{4})}{4} + \frac{1}{4} \cos (x^{4}) + C$

चरण 12.4

$\frac{1}{4}$ और $\cos (x^{4})$ को मिलाएं.

$\frac{x^{4} \sin (x^{4})}{4} + \frac{\cos (x^{4})}{4} + C$

चरण 13

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{4} x^{4} \sin (x^{4}) + \frac{1}{4} \cos (x^{4}) + C$