कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{2} \tanh (2 x - 1)$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \tanh (2 x - 1)$ है.

$x^{2} \frac{d}{d x} [\tanh (2 x - 1)] + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \tanh (x)$ और $g (x) = 2 x - 1$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x - 1$ के रूप में सेट करें.

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\tanh (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.2

$u$ के संबंध में $\tanh (u)$ का व्युत्पन्न ${sech}^{2} (u)$ है.

$x^{2} ({sech}^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x - 1$ से बदलें.

$x^{2} ({sech}^{2} (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$x^{2} ({sech}^{2} (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$x^{2} ({sech}^{2} (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x^{2} ({sech}^{2} (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{2} ({sech}^{2} (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x^{2} ({sech}^{2} (2 x - 1) (2 + 0)) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.6.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$x^{2} ({sech}^{2} (2 x - 1) \cdot 2) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.6.2

$2$ को ${sech}^{2} (2 x - 1)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{2} (2 \cdot {sech}^{2} (2 x - 1)) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x^{2} (2 {sech}^{2} (2 x - 1)) + \tanh (2 x - 1) (2 x)$

चरण 3.8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 x^{2} {sech}^{2} (2 x - 1) + 2 x \tanh (2 x - 1)$