कैलकुलस उदाहरण

$\sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$

चरण 1

$\sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \sin (2 x) + 3 \cos (3 x) d x$

चरण 4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \sin (2 x) d x + \int 3 \cos (3 x) d x$

चरण 5

मान लीजिए $u_{1} = 2 x$ .फिर $d u_{1} = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u_{1} = 2 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 5.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 5.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 5.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int 3 \cos (3 x) d x$

चरण 6

$\sin (u_{1})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1} + \int 3 \cos (3 x) d x$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int 3 \cos (3 x) d x$

चरण 8

$u_{1}$ के संबंध में $\sin (u_{1})$ का इंटीग्रल $- \cos (u_{1})$ है.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int 3 \cos (3 x) d x$

चरण 9

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 \int \cos (3 x) d x$

चरण 10

मान लीजिए $u_{2} = 3 x$ .फिर $d u_{2} = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

मान लें $u_{2} = 3 x$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$3 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 10.1.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 10.1.3

$3 \cdot 1$

चरण 10.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 10.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

चरण 11

$\cos (u_{2})$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

चरण 12

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 (\frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{1}{3}$ और $3$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{3}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

चरण 13.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{3}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

चरण 13.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 1 \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

चरण 13.3

$\int \cos (u_{2}) d u_{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

चरण 14

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का इंटीग्रल $\sin (u_{2})$ है.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \sin (u_{2}) + C$

चरण 15

सरल करें.

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \sin (u_{2}) + C$

चरण 16

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \sin (u_{2}) + C$

चरण 16.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \sin (3 x) + C$

चरण 17

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \sin (3 x) + C$

चरण 18

उत्तर फलन $f (x) = \sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \sin (3 x) + C$