कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{3 x + 7}{\sqrt{5 + 2 x}}$

चरण 1

$\sqrt{5 + 2 x}$ को ${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x + 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 3 x + 7$ और $g (x) = {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ है.

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 7] - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3

घातांक को ${({(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 7] - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 7] - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 7] - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(5 + 2 x)}^{1}}$

चरण 4

सरल करें.

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 7] - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

चरण 5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x + 7$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [7]$ है.

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [7]) - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

चरण 5.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

चरण 5.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]) - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

चरण 5.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} [7]) - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

चरण 5.5

चूंकि $x$ के संबंध में $7$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $7$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

चरण 5.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

चरण 5.6.2

$3$ को ${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{3 \cdot {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

चरण 6

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 5 + 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $5 + 2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

चरण 6.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

चरण 6.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $5 + 2 x$ से बदलें.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

चरण 7

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

चरण 8

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

चरण 9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

चरण 10

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

चरण 10.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

चरण 11

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

चरण 11.2

$\frac{1}{2}$ और ${(5 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{{(5 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

चरण 11.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(5 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

चरण 12

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 + 2 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2 x]$ है.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2 x]))}{5 + 2 x}$

चरण 13

चूंकि $x$ के संबंध में $5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [2 x]))}{5 + 2 x}$

चरण 14

$0$ और $\frac{d}{d x} [2 x]$ जोड़ें.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x])}{5 + 2 x}$

चरण 15

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x]))}{5 + 2 x}$

चरण 16

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$2$ और $\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{2}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x])}{5 + 2 x}$

चरण 16.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{2}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x])}{5 + 2 x}$

चरण 16.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x])}{5 + 2 x}$

चरण 17

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{5 + 2 x}$

चरण 18

$\frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) \frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

चरण 19

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + (- (3 x) - 1 \cdot 7) \frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

चरण 19.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.1

कोष्ठक लगाएं.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 7) \frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

चरण 19.2.2

मान लीजिए $u_{2} = {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ . ${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ की सभी घटनाओं के लिए $u_{2}$ को प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.2.1

$u_{2}$ ले जाएं.

$\frac{\frac{3 (u_{2} \cdot u_{2}) - 3 x - 7}{u_{2}}}{5 + 2 x}$

चरण 19.2.2.2

$u_{2}$ को $u_{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{3 {u_{2}}^{2} - 3 x - 7}{u_{2}}}{5 + 2 x}$

चरण 19.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को ${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$\frac{\frac{3 {({(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

चरण 19.2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.4.1.1

घातांक को ${({(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.4.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

चरण 19.2.4.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.4.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

चरण 19.2.4.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{3 {(5 + 2 x)}^{1} - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

चरण 19.2.4.1.2

सरल करें.

$\frac{\frac{3 (5 + 2 x) - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

चरण 19.2.4.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\frac{3 \cdot 5 + 3 (2 x) - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

चरण 19.2.4.1.4

$3$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{15 + 3 (2 x) - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

चरण 19.2.4.1.5

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{15 + 6 x - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

चरण 19.2.4.2

$15$ में से $7$ घटाएं.

$\frac{\frac{6 x - 3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

चरण 19.2.4.3

$6 x$ में से $3 x$ घटाएं.

$\frac{\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

चरण 19.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.3.1

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$ को फिर से लिखें.

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{5 + 2 x}$

चरण 19.3.2

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{1}{5 + 2 x}$ से गुणा करें.

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (5 + 2 x)}$

चरण 19.3.3

घातांक जोड़कर ${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ को $5 + 2 x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.3.3.1

${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ को $5 + 2 x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.3.3.1.1

$5 + 2 x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(5 + 2 x)}^{1}}$

चरण 19.3.3.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

चरण 19.3.3.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

चरण 19.3.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

चरण 19.3.3.4

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 19.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{3 x + 8}{{(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$