कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{2 x + 1}{9 + 16 x^{2}} d x$

चरण 1

भिन्न $\frac{2 x + 1}{9 + 16 x^{2}}$ को दो भिन्नों में विभाजित करें.

$\int \frac{2 x}{9 + 16 x^{2}} + \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \frac{2 x}{9 + 16 x^{2}} d x + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

चरण 3

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int \frac{x}{9 + 16 x^{2}} d x + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

चरण 4

मान लीजिए $u = 9 + 16 x^{2}$ .फिर $d u = 32 x d x$ , तो $\frac{1}{32} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = 9 + 16 x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$9 + 16 x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [9 + 16 x^{2}]$

चरण 4.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $9 + 16 x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

चरण 4.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $9$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $9$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

चरण 4.1.3

$\frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

चूंकि $16$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $16 x^{2}$ का व्युत्पन्न $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$0 + 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 4.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 + 16 (2 x)$

चरण 4.1.3.3

$2$ को $16$ से गुणा करें.

$0 + 32 x$

चरण 4.1.4

$0$ और $32 x$ जोड़ें.

$32 x$

चरण 4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{32} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{32}$ से गुणा करें.

$2 \int \frac{1}{u \cdot 32} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

चरण 5.2

$32$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \int \frac{1}{32 u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{32}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{32}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{1}{32} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{32}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{2}{32} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

चरण 7.2

$2$ और $32$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (1)}{32} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

चरण 7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$32$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

चरण 7.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

चरण 7.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

चरण 8

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

चरण 9

$9 + 16 x^{2}$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$9$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16}) + 16 x^{2}} d x$

चरण 9.2

$16 x^{2}$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16}) + 16 (x^{2})} d x$

चरण 9.3

$16 (\frac{9}{16}) + 16 (x^{2})$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16} + x^{2})} d x$

चरण 10

चूँकि $\frac{1}{16}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{16}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{\frac{9}{16} + x^{2}} d x$

चरण 11

$\frac{9}{16}$ को ${(\frac{3}{4})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{{(\frac{3}{4})}^{2} + x^{2}} d x$

चरण 12

$x$ के संबंध में $\frac{1}{{(\frac{3}{4})}^{2} + x^{2}}$ का इंटीग्रल $\frac{1}{\frac{3}{4}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C$ है.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{1}{\frac{3}{4}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1

$\frac{3}{4}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (1 (\frac{4}{3}) \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

चरण 13.1.2

$\frac{4}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

चरण 13.1.3

$\frac{3}{4}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (x \frac{4}{3}) + C)$

चरण 13.1.4

$x$ और $\frac{4}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{x \cdot 4}{3}) + C)$

चरण 13.1.5

$4$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{4 \cdot x}{3}) + C)$

चरण 13.1.6

$\frac{4}{3}$ और $\arctan (\frac{4 x}{3})$ को मिलाएं.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4 \arctan (\frac{4 x}{3})}{3} + C)$

चरण 13.2

सरल करें.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{1}{16} \cdot \frac{4}{3} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

चरण 13.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1

$\frac{1}{16}$ को $\frac{4}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4}{16 \cdot 3} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

चरण 13.3.2

$16$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4}{48} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

चरण 13.3.3

$4$ और $48$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.3.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 (1)}{48} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

चरण 13.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.3.2.1

$48$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

चरण 13.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

चरण 13.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{1}{12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

चरण 14

$u$ की सभी घटनाओं को $9 + 16 x^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{16} \ln (| 9 + 16 x^{2} |) + \frac{1}{12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$