कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{2}$ है.

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

चरण 1.2

घातांक को ${(x^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

चरण 1.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 1.3

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$x^{2}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 1.4.2

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 1.4.2.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 1.4.2.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 1.4.2.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{x}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 1.4.2.2.5

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{x - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 1.4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{x - \ln (x) (2 x)}{x^{4}}$

चरण 1.4.4

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.4.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

चरण 1.4.4.2

$x - 2 \ln (x) x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.4.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{1} - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

चरण 1.4.4.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot 1 - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

चरण 1.4.4.2.3

$- 2 \ln (x) x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))}{x^{4}}$

चरण 1.4.4.2.4

$x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}}$

चरण 1.5

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$x^{4}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

चरण 1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

चरण 1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

चरण 1.6

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 2 \ln (x)$ को सरल करें.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}}$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

घातांक को ${(x^{3})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}}$

चरण 2.2.1.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

चरण 2.2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - \ln (x^{2})$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ है.

$f'' (x) = \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

चरण 2.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = \frac{x^{3} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

चरण 2.2.4

$0$ और $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

चरण 2.2.5

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \ln (x^{2})$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ है.

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

चरण 2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

चरण 2.3.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

चरण 2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$x^{3}$ और $\frac{1}{x^{2}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

चरण 2.4.2

$x^{3}$ और $x^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$x^{3}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

चरण 2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.1

$1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

चरण 2.4.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

चरण 2.4.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

चरण 2.4.2.2.4

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$f'' (x) = \frac{- x \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

चरण 2.4.3

$f'' (x) = \frac{- x (2 x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

चरण 2.4.4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x \cdot x - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

चरण 2.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

चरण 2.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

चरण 2.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

चरण 2.8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

चरण 2.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) (3 x^{2})}{x^{6}}$

चरण 2.10

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.10.1

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

चरण 2.10.2

$- 2 x^{2} - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.10.2.1

$- 2 x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{x^{2} \cdot - 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

चरण 2.10.2.2

$- 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

चरण 2.10.2.3

$x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (1 - \ln (x^{2})))$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

चरण 2.11

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.11.1

$x^{6}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

चरण 2.11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

चरण 2.11.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

चरण 2.12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.12.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 \cdot 1 - 3 (- \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

चरण 2.12.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.12.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.12.2.1.1

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 - 3 (- \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

चरण 2.12.2.1.2

$- 3 (- \ln (x^{2}))$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.12.2.1.2.1

$- 1$ को $- 3$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + 3 \ln (x^{2})}{x^{4}}$

चरण 2.12.2.1.2.2

$3$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $3 \ln (x^{2})$ को सरल करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln ({(x^{2})}^{3})}{x^{4}}$

चरण 2.12.2.1.3

घातांक को ${(x^{2})}^{3}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.12.2.1.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln (x^{2 \cdot 3})}{x^{4}}$

चरण 2.12.2.1.3.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

चरण 2.12.2.2

$- 2$ में से $3$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{- 5 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

चरण 2.12.3

$- 5$ को $- 1 (5)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

चरण 2.12.4

$\ln (x^{6})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \ln (x^{6}))}{x^{4}}$

चरण 2.12.5

$- 1 (5) - 1 (- \ln (x^{6}))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{- 1 (5 - \ln (x^{6}))}{x^{4}}$

चरण 2.12.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{5 - \ln (x^{6})}{x^{4}}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

चरण 4.1.2

घातांक को ${(x^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

चरण 4.1.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 4.1.3

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 4.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

$x^{2}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 4.1.4.2

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 4.1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 4.1.4.2.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 4.1.4.2.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 4.1.4.2.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{x}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 4.1.4.2.2.5

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{x - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

चरण 4.1.4.3

$\frac{x - \ln (x) (2 x)}{x^{4}}$

चरण 4.1.4.4

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.4.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

चरण 4.1.4.4.2

$x - 2 \ln (x) x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.4.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{1} - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

चरण 4.1.4.4.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot 1 - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

चरण 4.1.4.4.2.3

$- 2 \ln (x) x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))}{x^{4}}$

चरण 4.1.4.4.2.4

$x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}}$

चरण 4.1.5

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.1

$x^{4}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

चरण 4.1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

चरण 4.1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

चरण 4.1.6

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 2 \ln (x)$ को सरल करें.

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

चरण 4.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ है.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

चरण 5.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$1 - \ln (x^{2}) = 0$

चरण 5.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$- \ln (x^{2}) = - 1$

चरण 5.3.2

$- \ln (x^{2}) = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$- \ln (x^{2}) = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- \ln (x^{2})}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 5.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{\ln (x^{2})}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 5.3.2.2.2

$\ln (x^{2})$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (x^{2}) = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 5.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.3.1

$- 1$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$\ln (x^{2}) = 1$

चरण 5.3.3

$x$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{1}$

चरण 5.3.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (x^{2}) = 1$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{1} = x^{2}$

चरण 5.3.5

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.5.1

समीकरण को $x^{2} = e^{1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{2} = e$

चरण 5.3.5.2

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{e^{1}}$

चरण 5.3.5.3

सरल करें.

$x = \pm \sqrt{e}$

चरण 5.3.5.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.5.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \sqrt{e}$

चरण 5.3.5.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \sqrt{e}$

चरण 5.3.5.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \sqrt{e}, - \sqrt{e}$

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x^{3} = 0$

चरण 6.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$x = \sqrt[3]{0}$

चरण 6.2.2

$\sqrt[3]{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$0$ को $0^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

चरण 6.2.2.2

वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत से पदों को बाहर निकालें.

$x = 0$

चरण 6.3

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ अपरिभाषित है, तर्क को $\ln (x^{2})$ से कम या उसके बराबर $0$ में सेट करें.

$x^{2} \leq 0$

चरण 6.4

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए असमिका के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{0}$

चरण 6.4.2

समीकरण को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.1.1

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$| x | \leq \sqrt{0}$

चरण 6.4.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.2.1

$\sqrt{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.2.1.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| x | \leq \sqrt{0^{2}}$

चरण 6.4.2.2.1.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$| x | \leq | 0 |$

चरण 6.4.2.2.1.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $0$ के बीच की दूरी $0$ है.

$| x | \leq 0$

चरण 6.4.3

$| x | \leq 0$ को अलग-अलग लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.3.1

पहले अलग-अलग भाग के लिए अंतराल ज्ञात करने के लिए, पता लगाएं कि निरपेक्ष मान के अंदर गैर-ऋणात्मक है.

$x \geq 0$

चरण 6.4.3.2

उस हिस्से में जहां $x$ गैर-ऋणात्मक है, निरपेक्ष मान हटा दें.

$x \leq 0$

चरण 6.4.3.3

दूसरे अलग-अलग भाग के लिए अंतराल ज्ञात करने के लिए, यह पता लगाएं कि निरपेक्ष मान का आंतरिक भाग ऋणात्मक है.

$x < 0$

चरण 6.4.3.4

उस हिस्से में जहां $x$ ऋणात्मक है, निरपेक्ष मान हटा दें और $- 1$ से गुणा करें.

$- x \leq 0$

चरण 6.4.3.5

अलग-अलग रूप में लिखें.

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

चरण 6.4.4

$x \leq 0$ और $x \geq 0$ का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें.

$x = 0$

चरण 6.4.5

$- x \leq 0$ को हल करें जब $x < 0$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.5.1

$- x \leq 0$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.5.1.1

$- x \leq 0$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें. असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक मान से गुणा या विभाजित करते समय, असमानता चिह्न की दिशा को पलटें.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

चरण 6.4.5.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.5.1.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

चरण 6.4.5.1.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x \geq \frac{0}{- 1}$

चरण 6.4.5.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.5.1.3.1

$0$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x \geq 0$

चरण 6.4.5.2

$x \geq 0$ और $x < 0$ का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें.

कोई हल नहीं

चरण 6.4.6

हलों का संघ ज्ञात करें.

$x = 0$

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = \sqrt{e}$

चरण 8

$x = \sqrt{e}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- \frac{5 - \ln ({(\sqrt{e})}^{6})}{{(\sqrt{e})}^{4}}$

चरण 9

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

${\sqrt{e}}^{6}$ को $e^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.1

$\sqrt{e}$ को $e^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$- \frac{5 - \ln ({(e^{\frac{1}{2}})}^{6})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

चरण 9.1.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{1}{2} \cdot 6})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

चरण 9.1.1.3

$\frac{1}{2}$ और $6$ को मिलाएं.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{6}{2}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

चरण 9.1.1.4

$6$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.4.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

चरण 9.1.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

चरण 9.1.1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

चरण 9.1.1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{3}{1}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

चरण 9.1.1.4.2.4

$3$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \frac{5 - \ln (e^{3})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

चरण 9.1.2

$3$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$- \frac{5 - (3 \ln (e))}{{\sqrt{e}}^{4}}$

चरण 9.1.3

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$- \frac{5 - (3 \cdot 1)}{{\sqrt{e}}^{4}}$

चरण 9.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{5 - 1 \cdot 3}{{\sqrt{e}}^{4}}$

चरण 9.1.5

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$- \frac{5 - 3}{{\sqrt{e}}^{4}}$

चरण 9.1.6

$5$ में से $3$ घटाएं.

$- \frac{2}{{\sqrt{e}}^{4}}$

चरण 9.2

${\sqrt{e}}^{4}$ को $e^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$\sqrt{e}$ को $e^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$- \frac{2}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

चरण 9.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{1}{2} \cdot 4}}$

चरण 9.2.3

$\frac{1}{2}$ और $4$ को मिलाएं.

$- \frac{2}{e^{\frac{4}{2}}}$

चरण 9.2.4

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.4.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}$

चरण 9.2.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}$

चरण 9.2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}$

चरण 9.2.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{2}{e^{\frac{2}{1}}}$

चरण 9.2.4.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \frac{2}{e^{2}}$

चरण 10

$x = \sqrt{e}$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \sqrt{e}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 11

$x = \sqrt{e}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

व्यंजक में चर $x$ को $\sqrt{e}$ से बदलें.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{{(\sqrt{e})}^{2}}$

चरण 11.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

${\sqrt{e}}^{2}$ को $e$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1.1

$\sqrt{e}$ को $e^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 11.2.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 11.2.1.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{2}{2}}}$

चरण 11.2.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{2}{2}}}$

चरण 11.2.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

चरण 11.2.1.5

सरल करें.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

चरण 11.2.2

अंतिम उत्तर $\frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$ है.

$y = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

चरण 12

ये $f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(\sqrt{e}, \frac{\ln (\sqrt{e})}{e})$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

चरण 13