कैलकुलस उदाहरण

$x \sqrt{4 - x^{2}}$

चरण 1

$x \sqrt{4 - x^{2}}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = x \sqrt{4 - x^{2}}$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int x \sqrt{4 - x^{2}} d x$

चरण 4

मान लीजिए $u = 4 - x^{2}$ .फिर $d u = - 2 x d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = 4 - x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$4 - x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

चरण 4.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 4.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 4.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 - (2 x)$

चरण 4.1.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 - 2 x$

चरण 4.1.4

$0$ में से $2 x$ घटाएं.

$- 2 x$

चरण 4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

चरण 5.2

$\sqrt{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

चरण 6

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

चरण 8

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$- \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ को $- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 10.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$\frac{2}{3}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{2}{3 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 10.2.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 10.2.3

$2$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 10.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 10.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 10.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 11

$u$ की सभी घटनाओं को $4 - x^{2}$ से बदलें.

$- \frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 12

उत्तर फलन $f (x) = x \sqrt{4 - x^{2}}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$