कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + x - 4 x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2} + 2 x^{4}}}$

चरण 1

न्यूमेरेटर और भाजक को भाजक में $x$ की उच्चतम घात से विभाजित करें, जो कि $x^{2} = \sqrt{x^{4}}$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 4 x^{2}}{x^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2}}{x^{4}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

चरण 2

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2}}{x^{4}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

चरण 2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$x^{2}$ और $x^{4}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{4}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

चरण 2.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.2.1

$x^{4}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

चरण 2.2.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

चरण 2.2.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

चरण 2.2.2

$x^{4}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

चरण 2.2.2.2

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

चरण 2.3

जैसे ही $x$ $\infty$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

चरण 2.4

जैसे-जैसे $x$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

चरण 2.5

$5$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

चरण 3

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$\frac{5 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

चरण 4

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{x}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

चरण 5

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$4$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

चरण 5.2

रेडिकल साइन के तहत सीमा को स्थानांतरित करें.

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

चरण 5.3

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2}}$

चरण 6

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{x^{4}}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2}}$

चरण 7

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + 0 + lim_{x \to \infty} 2}}$

चरण 8

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$2$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

चरण 8.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$5$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

चरण 8.2.1.2

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{0 + 0 - 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

चरण 8.2.1.3

$0$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{0 - 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

चरण 8.2.1.4

$0$ में से $4$ घटाएं.

$\frac{- 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

चरण 8.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- 4}{\sqrt{0 + 2}}$

चरण 8.2.2.2

$0$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{- 4}{\sqrt{2}}$

चरण 8.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{4}{\sqrt{2}}$

चरण 8.2.4

$\frac{4}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$- (\frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

चरण 8.2.5

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.5.1

$\frac{4}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

चरण 8.2.5.2

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

चरण 8.2.5.3

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

चरण 8.2.5.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

चरण 8.2.5.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

चरण 8.2.5.6

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.5.6.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 8.2.5.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 8.2.5.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

चरण 8.2.5.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.5.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

चरण 8.2.5.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{1}}$

चरण 8.2.5.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2}$

चरण 8.2.6

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.6.1

$4 \sqrt{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

चरण 8.2.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.6.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

चरण 8.2.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

चरण 8.2.6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{1}$

चरण 8.2.6.2.4

$2 \sqrt{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$- (2 \sqrt{2})$

चरण 8.2.7

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 \sqrt{2}$

चरण 9

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- 2 \sqrt{2}$

दशमलव रूप:

$- 2.82842712 \dots$