कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{4 t^{3} - t^{2} + 16 t}{t^{2} + 4} d t$

चरण 1

$4 t^{3} - t^{2} + 16 t$ को $t^{2} + 4$ से विभाजित करें.

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चरण 1.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

चरण 1.2

भाज्य $4 t^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $t^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

चरण 1.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

चरण 1.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $4 t^{3} + 0 + 16 t$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

चरण 1.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

$t^{2}$

$0$

चरण 1.6

मूल भाज्य से अगले पद को वर्तमान लाभांश में नीचे खींचें.

						$4 t$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$

चरण 1.7

भाज्य $- t^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $t^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$

चरण 1.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							-	$t^{2}$	+	$0$	-	$4$

चरण 1.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- t^{2} + 0 - 4$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							+	$t^{2}$	-	$0$	+	$4$

चरण 1.10

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							+	$t^{2}$	-	$0$	+	$4$
											+	$4$

चरण 1.11

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\int 4 t - 1 + \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int 4 t d t + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

चरण 3

चूँकि $4$ बटे $t$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$4 \int t d t + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t$ का समाकलन $\frac{1}{2} t^{2}$ है.

$4 (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

चरण 5

स्थिरांक नियम लागू करें.

$4 (\frac{1}{2} t^{2} + C) - t + C + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

चरण 6

$\frac{1}{2}$ और $t^{2}$ को मिलाएं.

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

चरण 7

चूँकि $4$ बटे $t$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{t^{2} + 4} d t$

चरण 8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 8.1

$t^{2}$ और $4$ को पुन: क्रमित करें.

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{4 + t^{2}} d t$

चरण 8.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{2^{2} + t^{2}} d t$

चरण 9

$t$ के संबंध में $\frac{1}{2^{2} + t^{2}}$ का इंटीग्रल $\frac{1}{2} \arctan (\frac{t}{2}) + C$ है.

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{t}{2}) + C)$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{1}{2}$ और $\arctan (\frac{t}{2})$ को मिलाएं.

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 (\frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2} + C)$

चरण 10.2

सरल करें.

$2 t^{2} - t + 4 \frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2} + C$

चरण 10.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

$4$ और $\frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2}$ को मिलाएं.

$2 t^{2} - t + \frac{4 \arctan (\frac{t}{2})}{2} + C$

चरण 10.3.2

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.2.1

$4 \arctan (\frac{t}{2})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2} + C$

चरण 10.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2 (1)} + C$

चरण 10.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2 \cdot 1} + C$

चरण 10.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 t^{2} - t + \frac{2 \arctan (\frac{t}{2})}{1} + C$

चरण 10.3.2.2.4

$2 \arctan (\frac{t}{2})$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 t^{2} - t + 2 \arctan (\frac{t}{2}) + C$

चरण 10.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 t^{2} - t + 2 \arctan (\frac{1}{2} t) + C$