कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$

चरण 1

$\frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}} d x$

चरण 4

मान लीजिए $u = 2 x + 1$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = 2 x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$2 x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

चरण 4.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 4.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} d u$

चरण 5.2

जोड़ना.

$\int \frac{2 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 5.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 5.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{u + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 5.5

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\int \frac{u - 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 5.6

$- 2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int \frac{u + \frac{- 2}{2}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 5.7

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 5.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 5.7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 5.7.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{u + \frac{- 1}{1}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 5.7.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$\int \frac{u - 1}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 5.8

$\frac{u - 1}{2 \sqrt{u}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{u - 1}{2 \sqrt{u} \cdot 2} d u$

चरण 5.9

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\int \frac{u - 1}{4 \sqrt{u}} d u$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 7

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{4} \int \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

चरण 7.2

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{1}{4} \int (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 7.3

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 7.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} \int (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 7.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{4} \int (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 8

$(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{4} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 8.2

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{4} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 8.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{4} \int u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 8.4

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 8.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 8.6

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 9

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{4} (\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

चरण 11

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

चरण 12

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (2 u^{\frac{1}{2}} + C))$

चरण 13

सरल करें.

$\frac{1}{4} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

चरण 14

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + C$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$- 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

चरण 15.2

$- 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

चरण 15.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + C$

चरण 15.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.4.1

$2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3$ में से $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.4.1.1

${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 3 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

चरण 15.4.1.2

$2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ में से $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}) - 2 \cdot 3 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

चरण 15.4.1.3

$- 2 \cdot 3 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ में से $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3)}{3} + C$

चरण 15.4.1.4

$2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3)$ में से $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 3)}{3} + C$

चरण 15.4.2

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 3)}{3} + C$

चरण 15.4.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.4.3.1

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{1} - 3)}{3} + C$

चरण 15.4.3.2

सरल करें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 1 - 3)}{3} + C$

चरण 15.4.4

$1$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 2)}{3} + C$

चरण 15.4.5

$2 x - 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.4.5.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) - 2)}{3} + C$

चरण 15.4.5.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 2 (- 1))}{3} + C$

चरण 15.4.5.3

$2 (x) + 2 (- 1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x - 1))}{3} + C$

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (x - 1)}{3} + C$

चरण 15.4.6

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}{3} + C$

चरण 15.5

जोड़ना.

$\frac{1 (4 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1))}{4 \cdot 3} + C$

चरण 15.6

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1 (4 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1))}{4 \cdot 3} + C$

चरण 15.7

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1 ({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1))}{3} + C$

चरण 15.8

${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}{3} + C$

चरण 16

उत्तर फलन $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}{3} + C$