कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

चरण 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

चरण 1.1.1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

चरण 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ है.

$1 + 3 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

चरण 1.1.1.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ और $g (x) = x - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 1$ के रूप में सेट करें.

$1 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

चरण 1.1.1.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{3}$ है.

$1 + 3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

चरण 1.1.1.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

चरण 1.1.1.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

चरण 1.1.1.2.4

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

चरण 1.1.1.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))$

चरण 1.1.1.2.6

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

चरण 1.1.1.2.7

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

चरण 1.1.1.2.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

चरण 1.1.1.2.9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.9.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0))$

चरण 1.1.1.2.9.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0))$

चरण 1.1.1.2.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0))$

चरण 1.1.1.2.11

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1)$

चरण 1.1.1.2.12

$\frac{1}{3}$ और ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$1 + 3 (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1)$

चरण 1.1.1.2.13

$\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + 3 \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$

चरण 1.1.1.2.14

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$1 + 3 \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.1.1.2.15

$3$ और $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ को मिलाएं.

$1 + \frac{3}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.1.1.2.16

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$1 + \frac{3}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.1.1.2.17

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$

चरण 1.1.2.1.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$

चरण 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.1

$\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ को ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$0 + \frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

चरण 1.1.2.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ के रूप में सेट करें.

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

चरण 1.1.2.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$0 - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

चरण 1.1.2.2.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ से बदलें.

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

चरण 1.1.2.2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ और $g (x) = x - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x - 1$ के रूप में सेट करें.

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

चरण 1.1.2.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{2}{3}$ है.

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

चरण 1.1.2.2.3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

चरण 1.1.2.2.4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

चरण 1.1.2.2.5

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

चरण 1.1.2.2.6

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

चरण 1.1.2.2.7

घातांक को ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.7.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

चरण 1.1.2.2.7.2

$\frac{2}{3} \cdot - 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.7.2.1

$\frac{2}{3}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$0 - {(x - 1)}^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

चरण 1.1.2.2.7.2.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$0 - {(x - 1)}^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

चरण 1.1.2.2.7.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

चरण 1.1.2.2.8

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

चरण 1.1.2.2.9

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

चरण 1.1.2.2.10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

चरण 1.1.2.2.11

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.11.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))$

चरण 1.1.2.2.11.2

$2$ में से $3$ घटाएं.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))$

चरण 1.1.2.2.12

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))$

चरण 1.1.2.2.13

$1$ और $0$ जोड़ें.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1)$

चरण 1.1.2.2.14

$\frac{2}{3}$ और ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ को मिलाएं.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1)$

चरण 1.1.2.2.15

$\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

चरण 1.1.2.2.16

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

चरण 1.1.2.2.17

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ और ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ को मिलाएं.

$0 - \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

चरण 1.1.2.2.18

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

चरण 1.1.2.2.19

घातांक जोड़कर ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ को ${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.19.1

${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ ले जाएं.

$0 - \frac{2}{3 ({(x - 1)}^{\frac{4}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}$

चरण 1.1.2.2.19.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

चरण 1.1.2.2.19.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

चरण 1.1.2.2.19.4

$4$ और $1$ जोड़ें.

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

चरण 1.1.2.3

$0$ में से $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ घटाएं.

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

चरण 1.1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ है.

$- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

चरण 1.2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = 0$

चरण 1.2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$2 = 0$

चरण 1.2.3

$2 \neq 0$ के बाद से कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 2

$f (x) = x + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

भिन्नात्मक घातांक वाले व्यंजकों को करणी में बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$x + 3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{1}}$

चरण 2.1.2

किसी भी चीज़ को $1$ तक बढ़ा दिया जाता है, वह आधार ही होता है.

$x + 3 \sqrt[3]{x - 1}$

चरण 2.2

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 3

ग्राफ अवतल नीचे है क्योंकि दूसरा व्युत्पन्न ऋणात्मक है.

ग्राफ अवतल नीचे है

चरण 4