कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$

चरण 1

$\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{x^{4} + 1} d x$

चरण 4

$x^{4}$ को ${(x^{4})}^{1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{x^{3}}{{(x^{4})}^{1} + 1} d x$

चरण 5

मान लीजिए $u_{1} = x^{4}$ .फिर $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , तो $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u_{1} = x^{4}$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$x^{4}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 5.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$4 x^{3}$

चरण 5.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

सरल करें.

$\int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

चरण 6.2

$\frac{1}{u_{1} + 1}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 4} d u_{1}$

चरण 6.3

$4$ को $u_{1} + 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{1}{4 (u_{1} + 1)} d u_{1}$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$

चरण 8

मान लीजिए $u_{2} = u_{1} + 1$ . फिर $d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

मान लें $u_{2} = u_{1} + 1$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$u_{1} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

चरण 8.1.2

योग नियम के अनुसार, $u_{1}$ के संबंध में $u_{1} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ है.

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

चरण 8.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

चरण 8.1.4

चूंकि $u_{1}$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 8.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 8.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 9

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

चरण 10

सरल करें.

$\frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

चरण 11

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $u_{1} + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{4} \ln (| u_{1} + 1 |) + C$

चरण 11.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{4}$ से बदलें.

$\frac{1}{4} \ln (| x^{4} + 1 |) + C$

चरण 12

उत्तर फलन $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{1}{4} \ln (| x^{4} + 1 |) + C$