कैलकुलस उदाहरण

$\int e^{2 θ} \sin (2 θ) d θ$

चरण 1

$e^{2 θ}$ और $\sin (2 θ)$ को पुन: क्रमित करें.

$\int \sin (2 θ) e^{2 θ} d θ$

चरण 2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \sin (2 θ)$ और $d v = e^{2 θ}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\sin (2 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - \int \frac{1}{2} e^{2 θ} (2 \cos (2 θ)) d θ$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2} \cdot 2$ बटे $θ$ अचर है, $\frac{1}{2} \cdot 2$ को समाकलन से हटा दें.

$\sin (2 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

चरण 4

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 θ}$ को मिलाएं.

$\sin (2 θ) \frac{e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

चरण 4.2

$\sin (2 θ)$ और $\frac{e^{2 θ}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

चरण 4.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

चरण 4.4

$e^{2 θ}$ और $\cos (2 θ)$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} \int \cos (2 θ) e^{2 θ} d θ)$

चरण 5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \cos (2 θ)$ और $d v = e^{2 θ}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\cos (2 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - \int \frac{1}{2} e^{2 θ} (- 2 \sin (2 θ)) d θ))$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{2} \cdot - 2$ बटे $θ$ अचर है, $\frac{1}{2} \cdot - 2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\cos (2 θ) (\frac{1}{2} e^{2 θ}) - (\frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)))$

चरण 7

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 θ}$ को मिलाएं.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\cos (2 θ) \frac{e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)))$

चरण 7.2

$\cos (2 θ)$ और $\frac{e^{2 θ}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)))$

चरण 7.3

$\frac{1}{2}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{2}{2} (\frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2} - (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)))$

चरण 7.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2}{2} \cdot \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2}{2} (- (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ))$

चरण 7.5

$\frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{2}{2} (- (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ))$

चरण 7.6

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} - \frac{2}{2} (- (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ))$

चरण 7.6.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + 1 (\frac{2}{2}) (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

चरण 7.6.3

$\frac{2}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + \frac{2}{2} (\frac{- 2}{2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

चरण 7.7

$\frac{- 2}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + \frac{- 2 \cdot 2}{2 \cdot 2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ$

चरण 7.8

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.8.1

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + \frac{- 4}{2 \cdot 2} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ$

चरण 7.8.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4} + \frac{- 4}{4} \int e^{2 θ} (\sin (2 θ)) d θ$

चरण 8

$\int e^{2 θ} \sin (2 θ) d θ$ को हल करने पर, हम पाते हैं कि $\int e^{2 θ} \sin (2 θ) d θ$ = $\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4}}{\frac{8}{4}}$ .

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ} \cdot 2}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

चरण 9

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$2$ को $\cos (2 θ) e^{2 θ}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2 \cdot (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

चरण 9.1.2

$2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

$2 \cos (2 θ) e^{2 θ}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2 (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

चरण 9.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2 (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{2 \cdot 2}}{\frac{8}{4}} + C$

चरण 9.1.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{2 (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{2 \cdot 2}}{\frac{8}{4}} + C$

चरण 9.1.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{8}{4}} + C$

चरण 9.1.3

$8$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4}} + C$

चरण 9.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 (1)}} + C$

चरण 9.1.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}} + C$

चरण 9.1.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{\frac{2}{1}} + C$

चरण 9.1.3.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{2} + C$

चरण 9.1.4

$\frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{2} + C$

चरण 9.1.5

जोड़ना.

$\frac{2 (\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} - \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

चरण 9.1.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 \frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} + 2 (- \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

चरण 9.1.7

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \frac{\sin (2 θ) e^{2 θ}}{2} + 2 (- \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

चरण 9.1.7.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + 2 (- \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2})}{2 \cdot 2} + C$

चरण 9.1.8

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} - 2 \frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}}{2 \cdot 2} + C$

चरण 9.1.9

$- 2$ और $\frac{\cos (2 θ) e^{2 θ}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{- 2 (\cos (2 θ) e^{2 θ})}{2}}{2 \cdot 2} + C$

चरण 9.1.10

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.10.1

$- 2 \cos (2 θ) e^{2 θ}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{2 (- \cos (2 θ) e^{2 θ})}{2}}{2 \cdot 2} + C$

चरण 9.1.10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.10.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{2 (- \cos (2 θ) e^{2 θ})}{2 (1)}}{2 \cdot 2} + C$

चरण 9.1.10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{2 (- \cos (2 θ) e^{2 θ})}{2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} + C$

चरण 9.1.10.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} + \frac{- \cos (2 θ) e^{2 θ}}{1}}{2 \cdot 2} + C$

चरण 9.1.10.2.4

$- \cos (2 θ) e^{2 θ}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}}{2 \cdot 2} + C$

चरण 9.1.11

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}}{4} + C$

चरण 9.2

$\frac{\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}}{4} + C$ को $\frac{1}{4} (\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} (\sin (2 θ) e^{2 θ} - \cos (2 θ) e^{2 θ}) + C$