कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) \sin^{2} (x) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ d x$

चरण 1

$\int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) \sin^{2} (x) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चूँकि $\sin^{2} (x)$ बटे $θ$ अचर है, $\sin^{2} (x)$ को समाकलन से हटा दें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ d x$

चरण 1.2

मान लीजिए $u = \sin (θ)$ .फिर $d u = \cos (θ) d θ$ , तो $\frac{1}{\cos (θ)} d u = d θ$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

मान लें $u = \sin (θ)$ . $\frac{d u}{d θ}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

$\sin (θ)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

चरण 1.2.1.2

$θ$ के संबंध में $\sin (θ)$ का व्युत्पन्न $\cos (θ)$ है.

$\cos (θ)$

चरण 1.2.2

$θ$ के लिए $u = \sin (θ)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \sin (0)$

चरण 1.2.3

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$u_{lower} = 0$

चरण 1.2.4

$θ$ के लिए $u = \sin (θ)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \sin (2 π)$

चरण 1.2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$u_{upper} = \sin (0)$

चरण 1.2.5.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$u_{upper} = 0$

चरण 1.2.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0$

चरण 1.2.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u (\sin (x) - u) d u d x$

चरण 1.3

$u (\sin (x) - u)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) + u (- u) d u d x$

चरण 1.3.2

$u$ और $- 1$ को पुन: क्रमित करें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - 1 \cdot u \cdot u d u d x$

चरण 1.3.3

गुणनखंड ऋणात्मक प्राप्त हुआ.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u \cdot u) d u d x$

चरण 1.3.4

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u^{1} u) d u d x$

चरण 1.3.5

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u^{1} u^{1}) d u d x$

चरण 1.3.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - u^{1 + 1} d u d x$

चरण 1.3.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - u^{2} d u d x$

चरण 1.3.8

$u \sin (x)$ और $- u^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} - u^{2} + u \sin (x) d u d x$

चरण 1.4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (\int_{0}^{0} - u^{2} d u + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

चरण 1.5

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- \int_{0}^{0} u^{2} d u + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

चरण 1.6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{0}) + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

चरण 1.7

$\frac{1}{3}$ और $u^{3}$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

चरण 1.8

चूँकि $\sin (x)$ बटे $u$ अचर है, $\sin (x)$ को समाकलन से हटा दें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \int_{0}^{0} u d u) d x$

चरण 1.9

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u$ का समाकलन $\frac{1}{2} u^{2}$ है.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{0}) d x$

चरण 1.10

$\frac{1}{2}$ और $u^{2}$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \frac{u^{2}}{2}]_{0}^{0}) d x$

चरण 1.11

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.11.1

$0$ पर और $0$ पर $\frac{u^{3}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) \frac{u^{2}}{2}]_{0}^{0}) d x$

चरण 1.11.2

$0$ पर और $0$ पर $\frac{u^{2}}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

चरण 1.11.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.11.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

चरण 1.11.3.2

$0$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.11.3.2.1

$0$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

चरण 1.11.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.11.3.2.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

चरण 1.11.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

चरण 1.11.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

चरण 1.11.3.2.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

चरण 1.11.3.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

चरण 1.11.3.4

$0$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.11.3.4.1

$0$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 (0)}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

चरण 1.11.3.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.11.3.4.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

चरण 1.11.3.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

चरण 1.11.3.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0}{1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

चरण 1.11.3.4.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - 0) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

चरण 1.11.3.5

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 + 0) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

चरण 1.11.3.6

$0$ और $0$ जोड़ें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- 0 + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

चरण 1.11.3.7

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

चरण 1.11.3.8

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

चरण 1.11.3.9

$0$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.11.3.9.1

$0$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 (0)}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

चरण 1.11.3.9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.11.3.9.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

चरण 1.11.3.9.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

चरण 1.11.3.9.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0}{1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

चरण 1.11.3.9.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0^{2}}{2})) d x$

चरण 1.11.3.10

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0}{2})) d x$

चरण 1.11.3.11

$0$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.11.3.11.1

$0$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 (0)}{2})) d x$

चरण 1.11.3.11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.11.3.11.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})) d x$

चरण 1.11.3.11.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})) d x$

चरण 1.11.3.11.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0}{1})) d x$

चरण 1.11.3.11.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - 0)) d x$

चरण 1.11.3.12

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 + 0)) d x$

चरण 1.11.3.13

$0$ और $0$ जोड़ें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) \cdot 0) d x$

चरण 1.11.3.14

$\sin (x)$ को $0$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + 0) d x$

चरण 1.11.3.15

$0$ और $0$ जोड़ें.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \cdot 0 d x$

चरण 1.11.3.16

$\sin^{2} (x)$ को $0$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{π} 0 d x$

चरण 2

$\int_{0}^{π} 0 d x$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x$ के संबंध में $0$ का इंटीग्रल $0$ है.

$0]_{0}^{π}$

चरण 2.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$π$ पर और $0$ पर $0$ का मान ज्ञात करें.

$(0) + 0$

चरण 2.2.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$0$