कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}}$

चरण 1

$\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}}$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}} d x$

चरण 4

मान लीजिए $u = x^{3} + 1$ .फिर $d u = 3 x^{2} d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = x^{3} + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$x^{3} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

चरण 4.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 x^{2} + 0$

चरण 4.1.5

$3 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$3 x^{2}$

चरण 4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

चरण 5.2

$3$ को $\sqrt{u}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 7

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

चरण 7.2

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 7.3

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 7.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 7.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ को $\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 9.2

$\frac{1}{3}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 10

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{3} + 1$ से बदलें.

$\frac{2}{3} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 11

उत्तर फलन $f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{2}{3} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$