कैलकुलस उदाहरण

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{2 π}{3}} \csc^{2} (\frac{1}{2} t) d t$

चरण 1

मान लीजिए $u = \frac{1}{2} t$ .फिर $d u = \frac{1}{2} d t$ , तो $2 d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = \frac{1}{2} t$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\frac{1}{2} t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

चरण 1.1.2

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $\frac{1}{2} t$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ है.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

चरण 1.1.4

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2}$

चरण 1.2

$t$ के लिए $u = \frac{1}{2} t$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$

चरण 1.3

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{π}{3}$ से गुणा करें.

$u_{lower} = \frac{π}{2 \cdot 3}$

चरण 1.3.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

चरण 1.4

$t$ के लिए $u = \frac{1}{2} t$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3}$

चरण 1.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$2 π$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (π)}{3}$

चरण 1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3}$

चरण 1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{2}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

चरण 2.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) \cdot 2 d u$

चरण 2.3

$2$ को $\csc^{2} (u)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} 2 \csc^{2} (u) d u$

चरण 3

चूँकि $2$ बटे $u$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) d u$

चरण 4

चूंकि $- \cot (u)$ का व्युत्पन्न $\csc^{2} (u)$ है, $\csc^{2} (u)$ का समाकलन $- \cot (u)$ है.

$2 (- \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}})$

चरण 5

$\frac{π}{3}$ पर और $\frac{π}{6}$ पर $- \cot (u)$ का मान ज्ञात करें.

$2 (- \cot (\frac{π}{3}) + \cot (\frac{π}{6}))$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\cot (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{1}{\sqrt{3}}$ है.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}} + \cot (\frac{π}{6}))$

चरण 6.2

$\cot (\frac{π}{6})$ का सटीक मान $\sqrt{3}$ है.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3})$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}}) + 2 \sqrt{3}$

चरण 7.2

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 \frac{1}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

चरण 7.2.2

$- 2$ और $\frac{1}{\sqrt{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 2}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

चरण 7.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + 2 \sqrt{3}$

चरण 8.1.2

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

चरण 8.1.2.2

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

चरण 8.1.2.3

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + 2 \sqrt{3}$

चरण 8.1.2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + 2 \sqrt{3}$

चरण 8.1.2.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + 2 \sqrt{3}$

चरण 8.1.2.6

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.6.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 2 \sqrt{3}$

चरण 8.1.2.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 2 \sqrt{3}$

चरण 8.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 \sqrt{3}$

चरण 8.1.2.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 \sqrt{3}$

चरण 8.1.2.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + 2 \sqrt{3}$

चरण 8.1.2.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \sqrt{3}$

चरण 8.2

$2 \sqrt{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

चरण 8.3

$2 \sqrt{3}$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

चरण 8.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

चरण 8.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{- 2 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{3}$

चरण 8.5.2

$- 2 \sqrt{3}$ और $6 \sqrt{3}$ जोड़ें.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

चरण 9

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

दशमलव रूप:

$2.30940107 \dots$