कैलकुलस उदाहरण

$x' = 3 x t^{2} - 3 t^{2}$

चरण 1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को फिर से लिखें

$\frac{d x}{d t} = 3 x t^{2} - 3 t^{2}$

चरण 2

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$3 x t^{2} - 3 t^{2}$ में से $3 t^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$3 x t^{2}$ में से $3 t^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x) - 3 t^{2}$

चरण 2.1.2

$- 3 t^{2}$ में से $3 t^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x) + 3 t^{2} (- 1)$

चरण 2.1.3

$3 t^{2} (x) + 3 t^{2} (- 1)$ में से $3 t^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x - 1)$

चरण 2.2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{x - 1}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x - 1} (3 t^{2} (x - 1))$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = 3 \frac{1}{x - 1} (t^{2} (x - 1))$

चरण 2.3.2

$3$ और $\frac{1}{x - 1}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} (t^{2} (x - 1))$

चरण 2.3.3

$x - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$t^{2} (x - 1)$ में से $x - 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} ((x - 1) t^{2})$

चरण 2.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} ((x - 1) t^{2})$

चरण 2.3.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = 3 t^{2}$

चरण 2.4

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{x - 1} d x = 3 t^{2} d t$

चरण 3

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{x - 1} d x = \int 3 t^{2} d t$

चरण 3.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

मान लीजिए $u = x - 1$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

मान लें $u = x - 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$x - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 3.2.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 3.2.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 3.2.1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 3.2.1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 3.2.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} d u = \int 3 t^{2} d t$

चरण 3.2.2

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

चरण 3.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूँकि $3$ बटे $t$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 \int t^{2} d t$

चरण 3.3.2

घात नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} t^{3}$ है.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

चरण 3.3.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ को $3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$

चरण 3.3.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.2.1

$3$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

चरण 3.3.3.2.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

चरण 3.3.3.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 1 t^{3} + C_{2}$

चरण 3.3.3.2.3

$t^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = t^{3} + C_{2}$

चरण 3.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| x - 1 |) = t^{3} + C$

चरण 4

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| x - 1 |)} = e^{t^{3} + C}$

चरण 4.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| x - 1 |) = t^{3} + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{t^{3} + C} = | x - 1 |$

चरण 4.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

समीकरण को $| x - 1 | = e^{t^{3} + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| x - 1 | = e^{t^{3} + C}$

चरण 4.3.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$x - 1 = \pm e^{t^{3} + C}$

चरण 4.3.3

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = \pm e^{t^{3} + C} + 1$

चरण 5

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$e^{t^{3} + C}$ को $e^{t^{3}} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm e^{t^{3}} e^{C} + 1$

चरण 5.2

$e^{t^{3}}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$x = \pm e^{C} e^{t^{3}} + 1$

चरण 5.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$x = C e^{t^{3}} + 1$