कैलकुलस उदाहरण

$\cos^{5} (x)$

चरण 1

$\cos^{5} (x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \cos^{5} (x)$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \cos^{5} (x) d x$

चरण 4

$\cos^{4} (x)$ का गुणनखंड करें.

$\int \cos^{4} (x) \cos (x) d x$

चरण 5

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int {\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x) d x$

चरण 5.2

${\cos (x)}^{2 (2)}$ को घातांक के रूप में फिर से लिखें.

$\int {(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

चरण 6

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\cos^{2} (x)$ को $1 - \sin^{2} (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int {(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

चरण 7

मान लीजिए $u = \sin (x)$ .फिर $d u = \cos (x) d x$ , तो $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

मान लें $u = \sin (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$\sin (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 7.1.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\cos (x)$

चरण 7.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int {(1 - u^{2})}^{2} d u$

चरण 8

${(1 - u^{2})}^{2}$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

${(1 - u^{2})}^{2}$ को $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

चरण 8.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

चरण 8.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

चरण 8.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

चरण 8.5

$u^{2}$ ले जाएं.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

चरण 8.6

$u^{2}$ ले जाएं.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

चरण 8.7

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$\int 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

चरण 8.8

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\int 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

चरण 8.9

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\int 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

चरण 8.10

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

चरण 8.11

$u^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

चरण 8.12

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

चरण 8.13

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

चरण 8.14

$- u^{2}$ में से $u^{2}$ घटाएं.

$\int 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

चरण 8.15

$- 2 u^{2}$ और $u^{4}$ को पुन: क्रमित करें.

$\int 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

चरण 8.16

$1$ ले जाएं.

$\int u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

चरण 9

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int u^{4} d u + \int - 2 u^{2} d u + \int d u$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{4}$ का समाकलन $\frac{1}{5} u^{5}$ है.

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - 2 u^{2} d u + \int d u$

चरण 11

चूँकि $- 2$ बटे $u$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 \int u^{2} d u + \int d u$

चरण 12

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u$

चरण 13

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\frac{1}{3}$ और $u^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

चरण 14.2

सरल करें.

$\frac{u^{5}}{5} - \frac{2 u^{3}}{3} + u + C$

चरण 15

$u$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$\frac{\sin^{5} (x)}{5} - \frac{2 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + C$

चरण 16

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{5} \sin^{5} (x) - \frac{2}{3} \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$

चरण 17

उत्तर फलन $f (x) = \cos^{5} (x)$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{1}{5} \sin^{5} (x) - \frac{2}{3} \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$