कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{4 x^{2} - 16}{x - 2}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 4 x^{2} - 16$ और $g (x) = x - 2$ है.

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 16] - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{2} - 16$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ है.

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 3

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{(x - 2) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{(x - 2) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 3.3

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{(x - 2) (8 x + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 16$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 16$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x - 2) (8 x + 0) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 4.2

$8 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(x - 2) (8 x) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 4.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$\frac{(x - 2) (8 x) - (4 x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 4.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(x - 2) (8 x) - (4 x^{2} - 16) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 4.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x - 2) (8 x) - (4 x^{2} - 16) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 4.6

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(x - 2) (8 x) - (4 x^{2} - 16) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (8 x) - 2 (8 x) - (4 x^{2} - 16) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (8 x) - 2 (8 x) + (- (4 x^{2}) - - 16) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (8 x) - 2 (8 x) - (4 x^{2}) \cdot 1 - - 16 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 5.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{8 x \cdot x - 2 (8 x) - (4 x^{2}) \cdot 1 - - 16 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 5.4.1.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.2.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{8 (x \cdot x) - 2 (8 x) - (4 x^{2}) \cdot 1 - - 16 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 5.4.1.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{8 x^{2} - 2 (8 x) - (4 x^{2}) \cdot 1 - - 16 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 5.4.1.3

$8$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{8 x^{2} - 16 x - (4 x^{2}) \cdot 1 - - 16 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 5.4.1.4

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{8 x^{2} - 16 x - 4 x^{2} \cdot 1 - - 16 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 5.4.1.5

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{8 x^{2} - 16 x - 4 x^{2} - - 16 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 5.4.1.6

$- - 16 \cdot 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.6.1

$- 1$ को $- 16$ से गुणा करें.

$\frac{8 x^{2} - 16 x - 4 x^{2} + 16 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 5.4.1.6.2

$16$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{8 x^{2} - 16 x - 4 x^{2} + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 5.4.2

$8 x^{2}$ में से $4 x^{2}$ घटाएं.

$\frac{4 x^{2} - 16 x + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 5.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$4 x^{2} - 16 x + 16$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.1

$4 x^{2}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (x^{2}) - 16 x + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 5.5.1.2

$- 16 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 4 x) + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 5.5.1.3

$16$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 5.5.1.4

$4 x^{2} + 4 (- 4 x)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 5.5.1.5

$4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 5.5.2

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 5.5.2.2

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

चरण 5.5.2.3

बहुपद को फिर से लिखें.

$\frac{4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 5.5.2.4

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = x$ और $b = 2$ है.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 5.6

${(x - 2)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 5.6.2

$4$ को $1$ से विभाजित करें.

$4$