कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{8 \arctan (2 x)}{1 + 4 x^{2}} d x$

चरण 1

चूँकि $8$ बटे $x$ अचर है, $8$ को समाकलन से हटा दें.

$8 \int \frac{\arctan (2 x)}{1 + 4 x^{2}} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u_{1} = 2 x$ .फिर $d u_{1} = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u_{1} = 2 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 2.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 2.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 2.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$8 \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$8 \int \frac{\arctan (u_{1})}{(1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}) \cdot 2} d u_{1}$

चरण 3.2

$2$ को $1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$8 \int \frac{\arctan (u_{1})}{2 (1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2})} d u_{1}$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$8 (\frac{1}{2} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1})$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1}{2}$ और $8$ को मिलाएं.

$\frac{8}{2} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

चरण 5.2

$8$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

चरण 5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

चरण 5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

चरण 5.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4}{1} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

चरण 5.2.2.4

$4$ को $1$ से विभाजित करें.

$4 \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

चरण 6

मान लीजिए $u_{2} = \arctan (u_{1})$ .फिर $d u_{2} = \frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} d u_{1}$ , तो $- d u_{2} = \frac{- 1}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u_{2} = \arctan (u_{1})$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$\arctan (u_{1})$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})]$

चरण 6.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\arctan (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ है.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

चरण 6.1.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1}$

चरण 6.1.4

पदों को पुनर्व्यवस्थित करें.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

चरण 6.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$4 \int u_{2} d u_{2}$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में $u_{2}$ का समाकलन $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ है.

$4 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$4 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ को $4 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

चरण 8.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$4$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{4}{2} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 8.2.2

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 8.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 8.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 8.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{1} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 8.2.2.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 {u_{2}}^{2} + C$

चरण 9

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\arctan (u_{1})$ से बदलें.

$2 {\arctan (u_{1})}^{2} + C$

चरण 9.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$2 {\arctan (2 x)}^{2} + C$