कैलकुलस उदाहरण

$\int 5 x (2 x + 5) (x - 3) d x$

चरण 1

चूँकि $5$ बटे $x$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$5 \int (x (2 x + 5)) (x - 3) d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = x - 3$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 2.1

मान लें $u = x - 3$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 2.1.1

$x - 3$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

चरण 2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 2.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$5 \int (u + 3) (2 (u + 3) + 5) u d u$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$5 \int (u + 3) (2 u + 2 \cdot 3 + 5) u d u$

चरण 3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$5 \int (u (2 u + 2 \cdot 3 + 5) + 3 (2 u + 2 \cdot 3 + 5)) u d u$

चरण 3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$5 \int (u (2 u + 2 \cdot 3) + u \cdot 5 + 3 (2 u + 2 \cdot 3 + 5)) u d u$

चरण 3.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$5 \int (u (2 u) + u (2 \cdot 3) + u \cdot 5 + 3 (2 u + 2 \cdot 3 + 5)) u d u$

चरण 3.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$5 \int (u (2 u) + u (2 \cdot 3) + u \cdot 5 + 3 (2 u + 2 \cdot 3) + 3 \cdot 5) u d u$

चरण 3.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$5 \int (u (2 u) + u (2 \cdot 3) + u \cdot 5 + 3 (2 u) + 3 (2 \cdot 3) + 3 \cdot 5) u d u$

चरण 3.7

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$5 \int (u (2 u) + u (2 \cdot 3) + u \cdot 5) u + (3 (2 u) + 3 (2 \cdot 3) + 3 \cdot 5) u d u$

चरण 3.8

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$5 \int (u (2 u) + u (2 \cdot 3)) u + u \cdot 5 u + (3 (2 u) + 3 (2 \cdot 3) + 3 \cdot 5) u d u$

चरण 3.9

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$5 \int u (2 u) u + u (2 \cdot 3) u + u \cdot 5 u + (3 (2 u) + 3 (2 \cdot 3) + 3 \cdot 5) u d u$

चरण 3.10

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$5 \int u (2 u) u + u (2 \cdot 3) u + u \cdot 5 u + (3 (2 u) + 3 (2 \cdot 3)) u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.11

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$5 \int u (2 u) u + u (2 \cdot 3) u + u \cdot 5 u + 3 (2 u) u + 3 (2 \cdot 3) u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.12

$u$ और $2$ को पुन: क्रमित करें.

$5 \int 2 \cdot u \cdot u \cdot u + u (2 \cdot 3) u + u \cdot 5 u + 3 (2 u) u + 3 (2 \cdot 3) u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.13

$u$ ले जाएं.

$5 \int 2 \cdot u \cdot u \cdot u + 2 \cdot 3 u \cdot u + u \cdot 5 u + 3 (2 u) u + 3 (2 \cdot 3) u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.14

$u$ और $5$ को पुन: क्रमित करें.

$5 \int 2 \cdot u \cdot u \cdot u + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 \cdot u \cdot u + 3 (2 u) u + 3 (2 \cdot 3) u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.15

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$5 \int 2 (u^{1} u) u + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.16

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$5 \int 2 (u^{1} u^{1}) u + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.17

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$5 \int 2 u^{1 + 1} u + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.18

$1$ और $1$ जोड़ें.

$5 \int 2 u^{2} u + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.19

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$5 \int 2 (u^{2} u^{1}) + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.20

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$5 \int 2 u^{2 + 1} + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.21

$2$ और $1$ जोड़ें.

$5 \int 2 u^{3} + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.22

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$5 \int 2 u^{3} + 6 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.23

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$5 \int 2 u^{3} + 6 (u^{1} u) + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.24

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$5 \int 2 u^{3} + 6 (u^{1} u^{1}) + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.25

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{1 + 1} + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.26

$1$ और $1$ जोड़ें.

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{2} + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.27

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{2} + 5 (u^{1} u) + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.28

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{2} + 5 (u^{1} u^{1}) + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.29

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{2} + 5 u^{1 + 1} + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.30

$1$ और $1$ जोड़ें.

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{2} + 5 u^{2} + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.31

$6 u^{2}$ और $5 u^{2}$ जोड़ें.

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.32

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.33

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 (u^{1} u) + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.34

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 (u^{1} u^{1}) + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.35

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{1 + 1} + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.36

$1$ और $1$ जोड़ें.

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{2} + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.37

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{2} + 6 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.38

$6$ को $3$ से गुणा करें.

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{2} + 18 u + 3 \cdot 5 u d u$

चरण 3.39

$3$ को $5$ से गुणा करें.

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{2} + 18 u + 15 u d u$

चरण 3.40

$18 u$ और $15 u$ जोड़ें.

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{2} + 33 u d u$

चरण 3.41

$11 u^{2}$ और $6 u^{2}$ जोड़ें.

$5 \int 2 u^{3} + 17 u^{2} + 33 u d u$

चरण 4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$5 (\int 2 u^{3} d u + \int 17 u^{2} d u + \int 33 u d u)$

चरण 5

चूँकि $2$ बटे $u$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$5 (2 \int u^{3} d u + \int 17 u^{2} d u + \int 33 u d u)$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} u^{4}$ है.

$5 (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int 17 u^{2} d u + \int 33 u d u)$

चरण 7

चूँकि $17$ बटे $u$ अचर है, $17$ को समाकलन से हटा दें.

$5 (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 17 \int u^{2} d u + \int 33 u d u)$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$5 (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 17 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 33 u d u)$

चरण 9

चूँकि $33$ बटे $u$ अचर है, $33$ को समाकलन से हटा दें.

$5 (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 17 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 33 \int u d u)$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u$ का समाकलन $\frac{1}{2} u^{2}$ है.

$5 (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 17 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 33 (\frac{1}{2} u^{2} + C))$

चरण 11

सरल करें.

$5 (\frac{u^{4}}{2} + \frac{17 u^{3}}{3} + \frac{33 u^{2}}{2}) + C$

चरण 12

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 3$ से बदलें.

$5 (\frac{{(x - 3)}^{4}}{2} + \frac{17 {(x - 3)}^{3}}{3} + \frac{33 {(x - 3)}^{2}}{2}) + C$

चरण 13

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$5 (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{4} + \frac{17}{3} {(x - 3)}^{3} + \frac{33}{2} {(x - 3)}^{2}) + C$