कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sin^{2} (x)$

चरण 1

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 2

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) d x$

चरण 3

$\sin^{2} (x)$ को $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

चरण 6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

चरण 7

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

चरण 8

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 8.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 8.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 8.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 8.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

चरण 9

$\cos (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

चरण 10

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

चरण 11

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

चरण 12

सरल करें.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

चरण 13

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\sin (2 x)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

चरण 14.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

चरण 14.3

$\frac{1}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

चरण 14.4

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.4.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{\sin (2 x)}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

चरण 14.4.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

चरण 15

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

चरण 16

उत्तर फलन $f (x) = \sin^{2} (x)$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$