कैलकुलस उदाहरण

$\ln (1 + x^{2} + 2 y^{2})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = \ln (y)$ और $g (y) = 1 + x^{2} + 2 y^{2}$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $1 + x^{2} + 2 y^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + 2 y^{2}]$

चरण 1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + 2 y^{2}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + x^{2} + 2 y^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + 2 y^{2}]$

चरण 2

अवकलन करें.

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चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $1 + x^{2} + 2 y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ है.

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

चरण 2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

चरण 2.3

$0$ और $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ जोड़ें.

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

चरण 2.4

चूंकि $y$ के संबंध में $x^{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

चरण 2.5

$0$ और $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ जोड़ें.

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$

चरण 2.6

चूंकि $2$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 y^{2}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (2 \frac{d}{d y} [y^{2}])$

चरण 2.7

$2$ और $\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 2.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (2 y)$

चरण 2.9

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 2.9.1

$2$ और $\frac{2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 \cdot 2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} y$

चरण 2.9.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{4}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} y$

चरण 2.9.3

$\frac{4}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{4 y}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$

चरण 2.9.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{4 y}{x^{2} + 2 y^{2} + 1}$