कैलकुलस उदाहरण

$\int x^{2} \sqrt{3 x + 2} d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x^{2}$ और $d v = \sqrt{3 x + 2}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x^{2} (\frac{2}{9} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{9} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{2}{9}$ और ${(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$x^{2} \frac{2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

चरण 2.2

$x^{2}$ और $\frac{2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

चरण 3

चूँकि $\frac{2}{9} \cdot 2$ बटे $x$ अचर है, $\frac{2}{9} \cdot 2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - (\frac{2}{9} \cdot 2 \int {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{2}{9}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - (\frac{2 \cdot 2}{9} \int {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

चरण 4.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

चरण 5

मान लीजिए $u = 3 x + 2$ .फिर $d u = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = 3 x + 2$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$3 x + 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 5.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 5.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 5.1.3.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 5.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 + 0$

चरण 5.1.4.2

$3$ और $0$ जोड़ें.

$3$

चरण 5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int u^{\frac{3}{2}} (\frac{u}{3} - \frac{2}{3}) \frac{1}{3} d u$

चरण 6

$\frac{1}{3}$ और $u^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} (\frac{u}{3} - \frac{2}{3}) d u$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{u}{3} + \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} (- \frac{2}{3}) d u$

चरण 7.2

$\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$ और $- 1$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

चरण 7.3

$\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$ को $\frac{u}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}} u}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

चरण 7.4

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}} u^{1}}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

चरण 7.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2} + 1}}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

चरण 7.6

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

चरण 7.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3 + 2}{2}}}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

चरण 7.8

$3$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

चरण 7.9

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

चरण 7.10

$- 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$ और $\frac{2}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 2}{3} d u$

चरण 7.11

$\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}}{3} d u$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$2$ को $u^{\frac{3}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{2 \cdot u^{\frac{3}{2}}}{3}}{3} d u$

चरण 8.2

$- 1 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ को $- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}}{3} d u$

चरण 8.3

एक गुणनफल के रूप में $\frac{- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}}{3}$ को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{1}{3} d u$

चरण 8.4

$\frac{1}{3}$ को $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3 \cdot 3} d u$

चरण 8.5

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u$

चरण 9

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} d u + \int - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u)$

चरण 10

चूँकि $\frac{1}{9}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{9}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} \int u^{\frac{5}{2}} d u + \int - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u)$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{5}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ है.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C) + \int - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u)$

चरण 12

$\frac{2}{7}$ और $u^{\frac{7}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u)$

चरण 13

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - \int \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u)$

चरण 14

चूँकि $\frac{2}{9}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{2}{9}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - (\frac{2}{9} \int u^{\frac{3}{2}} d u))$

चरण 15

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{3}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ है.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - \frac{2}{9} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

चरण 16

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$\frac{2}{5}$ और $u^{\frac{5}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - \frac{2}{9} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

चरण 16.2

सरल करें.

$\frac{2}{9} x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} \cdot \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

चरण 16.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.3.1

$\frac{2}{9}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 x^{2}}{9} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} \cdot \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

चरण 16.3.2

$\frac{2 x^{2}}{9}$ और ${(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} \cdot \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

चरण 16.3.3

$\frac{1}{9}$ को $\frac{2}{7}$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{9 \cdot 7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

चरण 16.3.4

$9$ को $7$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

चरण 16.3.5

$\frac{2}{5}$ को $\frac{2}{9}$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 9} u^{\frac{5}{2}}) + C$

चरण 16.3.6

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5 \cdot 9} u^{\frac{5}{2}}) + C$

चरण 16.3.7

$5$ को $9$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}}) + C$

चरण 16.3.8

$- \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{9}{9}$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}}) \cdot \frac{9}{9} + C$

चरण 16.3.9

$- \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}})$ और $\frac{9}{9}$ को मिलाएं.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} + \frac{- \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 9}{9} + C$

चरण 16.3.10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 9}{9} + C$

चरण 16.3.11

$\frac{2}{63}$ और $u^{\frac{7}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 9}{9} + C$

चरण 16.3.12

$u^{\frac{5}{2}}$ और $\frac{4}{45}$ को मिलाएं.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45}) \cdot 9}{9} + C$

चरण 16.3.13

$9$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - 9 (\frac{4}{9}) (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

चरण 16.3.14

$- 9$ और $\frac{4}{9}$ को मिलाएं.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 \cdot 4}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

चरण 16.3.15

$- 9$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 36}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

चरण 16.3.16

$- 36$ और $9$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.3.16.1

$- 36$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 \cdot - 4}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

चरण 16.3.16.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.3.16.2.1

$9$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 \cdot - 4}{9 (1)} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

चरण 16.3.16.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 \cdot - 4}{9 \cdot 1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

चरण 16.3.16.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

चरण 16.3.16.2.4

$- 4$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

चरण 16.3.17

$4$ को $u^{\frac{5}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{45})}{9} + C$

चरण 17

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x + 2$ से बदलें.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 {(3 x + 2)}^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{4 {(3 x + 2)}^{\frac{5}{2}}}{45})}{9} + C$

चरण 18

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{9} (2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2}{63} {(3 x + 2)}^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} {(3 x + 2)}^{\frac{5}{2}})) + C$