कैलकुलस उदाहरण

$x y^{2} + \frac{x^{2}}{y} = 5$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} + \frac{x^{2}}{y}) = \frac{d}{d x} (5)$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x y^{2} + \frac{x^{2}}{y}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = y^{2}$ है.

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

चरण 2.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

चरण 2.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

चरण 2.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

चरण 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

चरण 2.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

चरण 2.2.5

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

चरण 2.2.6

$y^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

$2 x y y' + y^{2} + \frac{y \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x y y' + y^{2} + \frac{y (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

चरण 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 x y y' + y^{2} + \frac{y (2 x) - x^{2} y'}{y^{2}}$

चरण 2.3.4

$2$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 x y y' + y^{2} + \frac{2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1.1

$2 x y y'$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ से गुणा करें.

$y^{2} + \frac{2 x y y' y^{2}}{y^{2}} + \frac{2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

चरण 2.4.1.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y^{2} + \frac{2 x y y' y^{2} + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

चरण 2.4.1.3

घातांक जोड़कर $y$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1.3.1

$y^{2}$ ले जाएं.

$y^{2} + \frac{2 x (y^{2} y) y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

चरण 2.4.1.3.2

$y^{2}$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1.3.2.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y^{2} + \frac{2 x (y^{2} y^{1}) y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

चरण 2.4.1.3.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y^{2} + \frac{2 x y^{2 + 1} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

चरण 2.4.1.3.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$y^{2} + \frac{2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

चरण 2.4.1.4

$y^{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{y^{2} y^{2}}{y^{2}} + \frac{2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

चरण 2.4.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{y^{2} y^{2} + 2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

चरण 2.4.1.6

घातांक जोड़कर $y^{2}$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1.6.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{y^{2 + 2} + 2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

चरण 2.4.1.6.2

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{y^{4} + 2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

चरण 2.4.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{y^{4} + 2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y'}{y^{2}}$

चरण 3

चूंकि $x$ के संबंध में $5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$\frac{y^{4} + 2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y'}{y^{2}} = 0$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$y^{4} + 2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y' = 0$

चरण 5.2

$y'$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$y'$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y^{4}$ घटाएं.

$2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y' = - y^{4}$

चरण 5.2.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 x y$ घटाएं.

$2 y^{3} x y' - x^{2} y' = - y^{4} - 2 x y$

चरण 5.2.2

$2 y^{3} x y' - x^{2} y'$ में से $x y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$2 y^{3} x y'$ में से $x y'$ का गुणनखंड करें.

$x y' (2 y^{3}) - x^{2} y' = - y^{4} - 2 x y$

चरण 5.2.2.2

$- x^{2} y'$ में से $x y'$ का गुणनखंड करें.

$x y' (2 y^{3}) + x y' (- x) = - y^{4} - 2 x y$

चरण 5.2.2.3

$x y' (2 y^{3}) + x y' (- x)$ में से $x y'$ का गुणनखंड करें.

$x y' (2 y^{3} - x) = - y^{4} - 2 x y$

चरण 5.2.3

$x y' (2 y^{3} - x) = - y^{4} - 2 x y$ के प्रत्येक पद को $x (2 y^{3} - x)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$x y' (2 y^{3} - x) = - y^{4} - 2 x y$ के प्रत्येक पद को $x (2 y^{3} - x)$ से विभाजित करें.

$\frac{x y' (2 y^{3} - x)}{x (2 y^{3} - x)} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

चरण 5.2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x y' (2 y^{3} - x)}{x (2 y^{3} - x)} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

चरण 5.2.3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (2 y^{3} - x)}{2 y^{3} - x} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

चरण 5.2.3.2.2

$2 y^{3} - x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (2 y^{3} - x)}{2 y^{3} - x} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

चरण 5.2.3.2.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

चरण 5.2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.3.1.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

चरण 5.2.3.3.1.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.3.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

चरण 5.2.3.3.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 y}{2 y^{3} - x}$

चरण 5.2.3.3.1.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y}{2 y^{3} - x}$

चरण 5.2.3.3.2

$- \frac{2 y}{2 y^{3} - x}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y}{2 y^{3} - x} \cdot \frac{x}{x}$

चरण 5.2.3.3.3

प्रत्येक व्यंजक को $x (2 y^{3} - x)$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.3.3.1

$\frac{2 y}{2 y^{3} - x}$ को $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y x}{(2 y^{3} - x) x}$

चरण 5.2.3.3.3.2

$(2 y^{3} - x) x$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y x}{x (2 y^{3} - x)}$

चरण 5.2.3.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{- y^{4} - 2 y x}{x (2 y^{3} - x)}$

चरण 5.2.3.3.5

$- y^{4} - 2 y x$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.3.5.1

$- y^{4}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y (- y^{3}) - 2 y x}{x (2 y^{3} - x)}$

चरण 5.2.3.3.5.2

$- 2 y x$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y (- y^{3}) + y (- 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

चरण 5.2.3.3.5.3

$y (- y^{3}) + y (- 2 x)$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y (- y^{3} - 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

चरण 5.2.3.3.6

$- y^{3}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y (- (y^{3}) - 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

चरण 5.2.3.3.7

$- 2 x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y (- (y^{3}) - (2 x))}{x (2 y^{3} - x)}$

चरण 5.2.3.3.8

$- (y^{3}) - (2 x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y (- (y^{3} + 2 x))}{x (2 y^{3} - x)}$

चरण 5.2.3.3.9

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.3.9.1

$- (y^{3} + 2 x)$ को $- 1 (y^{3} + 2 x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = \frac{y (- 1 (y^{3} + 2 x))}{x (2 y^{3} - x)}$

चरण 5.2.3.3.9.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{y (y^{3} + 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y^{3} + 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$