कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{x^{5}}{x^{3} - 1} d x$

चरण 1

आंशिक भिन्न अपघटन का प्रयोग करके भिन्न लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

लंबे बहुपद भाजन का उपयोग करके विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

चरण 1.1.2

भाज्य $x^{5}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x^{3}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

चरण 1.1.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

चरण 1.1.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{5} + 0 + 0 - x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

चरण 1.1.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

चरण 1.1.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

चरण 1.1.7

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{3} - 1}$

चरण 1.2

भिन्न को विघटित करें और सामान्य भाजक से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

भिन्न का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

$1$ को $1^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x^{2}}{x^{3} - 1^{3}}$

चरण 1.2.1.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के अंतर का उपयोग करने वाले गुणनखंड $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ जहाँ $a = x$ और $b = 1$ हैं.

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

चरण 1.2.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.3.1

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

चरण 1.2.1.3.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

चरण 1.2.2

भाजक में प्रत्येक कारक के लिए, भिन्न के रूप में कारक का उपयोग करके और न्यूमेरेटर के रूप में एक अज्ञात मान का उपयोग करके एक नया न्यूमेरेटर बनाएंं. चूँकि भाजक में गुणनखंड रैखिक है, इसलिए उसके स्थान पर एक ही चर डालें $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

चरण 1.2.3

भाजक में प्रत्येक कारक के लिए, भिन्न के रूप में कारक का उपयोग करके और न्यूमेरेटर के रूप में एक अज्ञात मान का उपयोग करके एक नया न्यूमेरेटर बनाएंं. चूँकि गुणनखंड दूसरा क्रम है, न्यूमेरेटर में $2$ पद आवश्यक हैं. न्यूमेरेटर में आवश्यक पदों की संख्या हमेशा भाजक के गुणनखंड के क्रम के बराबर होती है.

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$

चरण 1.2.4

मूल व्यंजक के भाजक से समीकरण में प्रत्येक भिन्न को गुणा करें. इस स्थिति में, भाजक $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ होगा.

$\frac{x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

चरण 1.2.5

$x - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

चरण 1.2.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

चरण 1.2.6

$x^{2} + x + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

चरण 1.2.6.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

चरण 1.2.7

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1

$x - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{2} = \frac{A (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

चरण 1.2.7.1.2

$(A) (x^{2} + x + 1)$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = (A) (x^{2} + x + 1) + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

चरण 1.2.7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

चरण 1.2.7.3

$A$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

चरण 1.2.7.4

$x^{2} + x + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

चरण 1.2.7.4.2

$(B x + C) (x - 1)$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + (B x + C) (x - 1)$

चरण 1.2.7.5

FOIL विधि का उपयोग करके $(B x + C) (x - 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x (x - 1) + C (x - 1)$

चरण 1.2.7.5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C (x - 1)$

चरण 1.2.7.5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

चरण 1.2.7.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.6.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.6.1.1

$x$ ले जाएं.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

चरण 1.2.7.6.1.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

चरण 1.2.7.6.2

$- 1$ को $B x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 1$

चरण 1.2.7.6.3

$- 1 (B x)$ को $- (B x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - (B x) + C x + C \cdot - 1$

चरण 1.2.7.6.4

$- 1$ को $C$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - 1 \cdot C$

चरण 1.2.7.6.5

$- 1 C$ को $- C$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

चरण 1.2.8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.8.1

$B$ और $x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

चरण 1.2.8.2

$B$ ले जाएं.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 x B + C x - C$

चरण 1.2.8.3

$A$ ले जाएं.

$x^{2} = A x^{2} + A x + B x^{2} - 1 x B + C x + A - C$

चरण 1.2.8.4

$A x$ ले जाएं.

$x^{2} = A x^{2} + B x^{2} + A x - 1 x B + C x + A - C$

चरण 1.3

आंशिक भिन्न चर के लिए समीकरण बनाएंं और समीकरणों की प्रणाली स्थापित करने के लिए उनका उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

समीकरण के दोनों ओर के $x^{2}$ के पक्ष को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना होगा.

$1 = A + B$

चरण 1.3.2

समीकरण के दोनों ओर के $x$ के पक्ष को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना होगा.

$0 = A - 1 B + C$

चरण 1.3.3

उन पदों, जिनमें $x$ न हो, के गुणांकों को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना चाहिए.

$0 = A - 1 C$

चरण 1.3.4

आंशिक भिन्नों के गुणांक ज्ञात करने के लिए समीकरणों की प्रणाली सेट करें.

$1 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

$1 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

चरण 1.4

समीकरणों की प्रणाली को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$A$ के लिए $1 = A + B$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

समीकरण को $A + B = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$A + B = 1$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

चरण 1.4.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $B$ घटाएं.

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

चरण 1.4.2

प्रत्येक समीकरण में $A$ की सभी घटनाओं को $1 - B$ से बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$A$ की सभी घटनाओं को $0 = A - 1 B + C$ में $1 - B$ से बदलें.

$0 = (1 - B) - 1 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

चरण 1.4.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1

$(1 - B) - 1 B + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1.1

$- 1 B$ को $- B$ के रूप में फिर से लिखें.

$0 = 1 - B - B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

चरण 1.4.2.2.1.2

$- B$ में से $B$ घटाएं.

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

चरण 1.4.2.3

$A$ की सभी घटनाओं को $0 = A - 1 C$ में $1 - B$ से बदलें.

$0 = (1 - B) - 1 C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

चरण 1.4.2.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.4.1

$- 1 C$ को $- C$ के रूप में फिर से लिखें.

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

चरण 1.4.3

$1$ और $- B$ को पुन: क्रमित करें.

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

चरण 1.4.4

$C$ के लिए $0 = 1 - 2 B + C$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.4.1

समीकरण को $1 - 2 B + C = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$1 - 2 B + C = 0$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

चरण 1.4.4.2

$C$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$- 2 B + C = - 1$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

चरण 1.4.4.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2 B$ जोड़ें.

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

चरण 1.4.5

प्रत्येक समीकरण में $C$ की सभी घटनाओं को $- 1 + 2 B$ से बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.5.1

$C$ की सभी घटनाओं को $0 = 1 - B - C$ में $- 1 + 2 B$ से बदलें.

$0 = 1 - B - (- 1 + 2 B)$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

चरण 1.4.5.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.5.2.1

$1 - B - (- 1 + 2 B)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.5.2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.5.2.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$0 = 1 - B + 1 - (2 B)$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

चरण 1.4.5.2.1.1.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 = 1 - B + 1 - (2 B)$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

चरण 1.4.5.2.1.1.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 = 1 - B + 1 - 2 B$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B + 1 - 2 B$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

चरण 1.4.5.2.1.2

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.5.2.1.2.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$0 = - B + 2 - 2 B$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

चरण 1.4.5.2.1.2.2

$- B$ में से $2 B$ घटाएं.

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

चरण 1.4.6

$B$ के लिए $0 = - 3 B + 2$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.6.1

समीकरण को $- 3 B + 2 = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 3 B + 2 = 0$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

चरण 1.4.6.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$- 3 B = - 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

चरण 1.4.6.3

$- 3 B = - 2$ के प्रत्येक पद को $- 3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.6.3.1

$- 3 B = - 2$ के प्रत्येक पद को $- 3$ से विभाजित करें.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

चरण 1.4.6.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.6.3.2.1

$- 3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.6.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

चरण 1.4.6.3.2.1.2

$B$ को $1$ से विभाजित करें.

$B = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

चरण 1.4.6.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.6.3.3.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

चरण 1.4.7

प्रत्येक समीकरण में $B$ की सभी घटनाओं को $\frac{2}{3}$ से बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.7.1

$B$ की सभी घटनाओं को $C = - 1 + 2 B$ में $\frac{2}{3}$ से बदलें.

$C = - 1 + 2 (\frac{2}{3})$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

चरण 1.4.7.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.7.2.1

$- 1 + 2 (\frac{2}{3})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.7.2.1.1

$2 (\frac{2}{3})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.7.2.1.1.1

$2$ और $\frac{2}{3}$ को मिलाएं.

$C = - 1 + \frac{2 \cdot 2}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

चरण 1.4.7.2.1.1.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$C = - 1 + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = - 1 + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

चरण 1.4.7.2.1.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$C = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

चरण 1.4.7.2.1.3

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$C = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

चरण 1.4.7.2.1.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$C = \frac{- 1 \cdot 3 + 4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

चरण 1.4.7.2.1.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.7.2.1.5.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$C = \frac{- 3 + 4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

चरण 1.4.7.2.1.5.2

$- 3$ और $4$ जोड़ें.

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

चरण 1.4.7.3

$B$ की सभी घटनाओं को $A = - B + 1$ में $\frac{2}{3}$ से बदलें.

$A = - (\frac{2}{3}) + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

चरण 1.4.7.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.7.4.1

$- (\frac{2}{3}) + 1$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.7.4.1.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$A = - \frac{2}{3} + \frac{3}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

चरण 1.4.7.4.1.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$A = \frac{- 2 + 3}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

चरण 1.4.7.4.1.3

$- 2$ और $3$ जोड़ें.

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

चरण 1.4.8

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$A = \frac{1}{3}, C = \frac{1}{3}, B = \frac{2}{3}$

चरण 1.5

$x^{2} + \frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ में प्रत्येक आंशिक भिन्न गुणांक को $A$ , $B$ और $C$ के लिए पाए गए मानों से बदलें.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{\frac{2}{3 x} + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

चरण 1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

भिन्न के न्यूमेरेटर और भाजक को $3$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1.1

$\frac{\frac{2}{3} x + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{2}{3} x + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

चरण 1.6.1.2

जोड़ना.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x + \frac{1}{3})}{3 (x^{2} + x + 1)}$

चरण 1.6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x) + 3 (\frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

चरण 1.6.3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.3.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x) + 3 (\frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

चरण 1.6.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x) + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

चरण 1.6.3.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3}) \cdot x + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

चरण 1.6.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

चरण 1.6.3.3

$3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.3.3.1

$3 x^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2}) + 3 x + 3 \cdot 1}$

चरण 1.6.3.3.2

$3 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 \cdot 1}$

चरण 1.6.3.3.3

$3 \cdot 1$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 (1)}$

चरण 1.6.3.3.4

$3 (x^{2}) + 3 (x)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x) + 3 (1)}$

चरण 1.6.3.3.5

$3 (x^{2} + x) + 3 (1)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

चरण 1.6.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x^{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

चरण 1.6.5

$\frac{1}{3}$ को $\frac{1}{x - 1}$ से गुणा करें.

$\int x^{2} + \frac{1}{3 (x - 1)} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int x^{2} d x + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

चरण 3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

चरण 5

मान लीजिए $u_{1} = x - 1$ . फिर $d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u_{1} = x - 1$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$x - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 5.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 5.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 5.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

चरण 6

$u_{1}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{1}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{1} |)$ है.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1} d x$

चरण 8

मान लीजिए $u_{2} = x^{2} + x + 1$ .फिर $d u_{2} = (2 x + 1) d x$ , तो $\frac{1}{2 x + 1} d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

मान लें $u_{2} = x^{2} + x + 1$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$x^{2} + x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

चरण 8.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 8.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 8.1.4

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 8.1.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 1 + 0$

चरण 8.1.6

$2 x + 1$ और $0$ जोड़ें.

$2 x + 1$

चरण 8.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 9

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

चरण 10

सरल करें.

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

चरण 11

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \ln (| x - 1 |) + \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

चरण 11.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + x + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \ln (| x - 1 |) + \frac{1}{3} \ln (| x^{2} + x + 1 |) + C$